Analysis Beispiele

Ermittle die kritischen Punkte y=x^4-3x^2
Schritt 1
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1
Differenziere.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.1.1.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.2
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 2
Setze die erste Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 2.2
Faktorisiere aus heraus.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.2.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.2.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.3
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 2.4
Setze gleich .
Schritt 2.5
Setze gleich und löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.1
Setze gleich .
Schritt 2.5.2
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.2.1
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 2.5.2.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.2.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 2.5.2.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.2.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.2.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.5.2.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 2.5.2.3
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Schritt 2.5.2.4
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.2.4.1
Schreibe als um.
Schritt 2.5.2.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.5.2.4.3
Vereinige und vereinfache den Nenner.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.2.4.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.5.2.4.3.2
Potenziere mit .
Schritt 2.5.2.4.3.3
Potenziere mit .
Schritt 2.5.2.4.3.4
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.5.2.4.3.5
Addiere und .
Schritt 2.5.2.4.3.6
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.2.4.3.6.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 2.5.2.4.3.6.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 2.5.2.4.3.6.3
Kombiniere und .
Schritt 2.5.2.4.3.6.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.2.4.3.6.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.5.2.4.3.6.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 2.5.2.4.3.6.5
Berechne den Exponenten.
Schritt 2.5.2.4.4
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.2.4.4.1
Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.
Schritt 2.5.2.4.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.5.2.5
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.2.5.1
Verwende zunächst den positiven Wert des , um die erste Lösung zu finden.
Schritt 2.5.2.5.2
Als Nächstes verwende den negativen Wert von , um die zweite Lösung zu finden.
Schritt 2.5.2.5.3
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Schritt 2.6
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
Schritt 3
Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 4
Werte an jeden Wert aus, wo die Ableitung ist oder nicht definiert ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.1
Ersetze durch .
Schritt 4.1.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.2.1.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 4.1.2.1.2
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 4.1.2.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.2.2
Addiere und .
Schritt 4.2
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.1
Ersetze durch .
Schritt 4.2.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.2.1.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 4.2.2.1.2
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.2.1.2.1
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.2.1.2.1.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 4.2.2.1.2.1.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 4.2.2.1.2.1.3
Kombiniere und .
Schritt 4.2.2.1.2.1.4
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.2.1.2.1.4.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.2.2.1.2.1.4.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.2.1.2.1.4.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.2.2.1.2.1.4.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.2.2.1.2.1.4.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.2.2.1.2.1.4.2.4
Dividiere durch .
Schritt 4.2.2.1.2.2
Potenziere mit .
Schritt 4.2.2.1.3
Potenziere mit .
Schritt 4.2.2.1.4
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.2.1.4.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.2.2.1.4.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.2.1.4.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.2.2.1.4.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.2.2.1.4.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.2.2.1.5
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 4.2.2.1.6
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.2.1.6.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 4.2.2.1.6.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 4.2.2.1.6.3
Kombiniere und .
Schritt 4.2.2.1.6.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.2.1.6.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.2.2.1.6.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.2.2.1.6.5
Berechne den Exponenten.
Schritt 4.2.2.1.7
Potenziere mit .
Schritt 4.2.2.1.8
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.2.1.8.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.2.2.1.8.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.2.1.8.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.2.2.1.8.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.2.2.1.8.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.2.2.1.9
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.2.1.9.1
Kombiniere und .
Schritt 4.2.2.1.9.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.2.1.10
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 4.2.2.2
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 4.2.2.3
Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von multiplizierst.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.2.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.2.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.2.4
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.2.2.5
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.2.5.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.2.5.2
Subtrahiere von .
Schritt 4.2.2.6
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 4.3
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.1
Ersetze durch .
Schritt 4.3.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.1.1
Wende die Exponentenregel an, um den Exponenten zu verteilen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.1.1.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 4.3.2.1.1.2
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 4.3.2.1.2
Potenziere mit .
Schritt 4.3.2.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.2.1.4
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.1.4.1
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.1.4.1.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 4.3.2.1.4.1.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 4.3.2.1.4.1.3
Kombiniere und .
Schritt 4.3.2.1.4.1.4
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.1.4.1.4.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.3.2.1.4.1.4.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.1.4.1.4.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.3.2.1.4.1.4.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.3.2.1.4.1.4.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.3.2.1.4.1.4.2.4
Dividiere durch .
Schritt 4.3.2.1.4.2
Potenziere mit .
Schritt 4.3.2.1.5
Potenziere mit .
Schritt 4.3.2.1.6
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.1.6.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.3.2.1.6.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.1.6.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.3.2.1.6.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.3.2.1.6.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.3.2.1.7
Wende die Exponentenregel an, um den Exponenten zu verteilen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.1.7.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 4.3.2.1.7.2
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 4.3.2.1.8
Potenziere mit .
Schritt 4.3.2.1.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.2.1.10
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.1.10.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 4.3.2.1.10.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 4.3.2.1.10.3
Kombiniere und .
Schritt 4.3.2.1.10.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.1.10.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.3.2.1.10.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.3.2.1.10.5
Berechne den Exponenten.
Schritt 4.3.2.1.11
Potenziere mit .
Schritt 4.3.2.1.12
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.1.12.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.3.2.1.12.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.1.12.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.3.2.1.12.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.3.2.1.12.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.3.2.1.13
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.1.13.1
Kombiniere und .
Schritt 4.3.2.1.13.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.2.1.14
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 4.3.2.2
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 4.3.2.3
Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von multiplizierst.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.2.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.2.4
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.3.2.5
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.5.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.2.5.2
Subtrahiere von .
Schritt 4.3.2.6
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 4.4
Liste all Punkte auf.
Schritt 5