Analysis Beispiele

$y = {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{7}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{7}$ und $g (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ .

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Schritt 1.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$7 u^{6} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Schritt 1.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x + 1$ und $g (x) = x - 1$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4.2

Mutltipliziere $x - 1$ mit $1$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.3.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.8.3

Kombiniere $\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$ und $7$ .

$\frac{(x - 1 - (x + 1)) \cdot 7}{{(x - 1)}^{2}} {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6}$

Schritt 1.1.3.8.4

Bringe $7$ auf die linke Seite von $x - 1 - (x + 1)$ .

$\frac{7 \cdot (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{2}} {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6}$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x + 1}{x - 1}$ an.

$\frac{7 (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Schritt 1.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 (x - 1 - x - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Schritt 1.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 x + 7 \cdot - 1 + 7 (- x) + 7 (- 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Schritt 1.1.4.4

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.4.4.1

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$\frac{7 x - 7 + 7 (- x) + 7 (- 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Schritt 1.1.4.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{7 x - 7 - 7 x + 7 (- 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Schritt 1.1.4.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{7 x - 7 - 7 x + 7 \cdot - 1}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Schritt 1.1.4.4.4

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$\frac{7 x - 7 - 7 x - 7}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Schritt 1.1.4.4.5

Subtrahiere $7 x$ von $7 x$ .

$\frac{0 - 7 - 7}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Schritt 1.1.4.4.6

Subtrahiere $7$ von $0$ .

$\frac{- 7 - 7}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Schritt 1.1.4.4.7

Subtrahiere $7$ von $- 7$ .

$\frac{- 14}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Schritt 1.1.4.4.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{14}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Schritt 1.1.4.4.9

Mutltipliziere $\frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$ mit $\frac{14}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$- \frac{{(x + 1)}^{6} \cdot 14}{{(x - 1)}^{6} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.4.10

Multipliziere ${(x - 1)}^{6}$ mit ${(x - 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.4.4.10.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{{(x + 1)}^{6} \cdot 14}{{(x - 1)}^{6 + 2}}$

Schritt 1.1.4.4.10.2

Addiere $6$ und $2$ .

$- \frac{{(x + 1)}^{6} \cdot 14}{{(x - 1)}^{8}}$

Schritt 1.1.4.4.11

Bringe $14$ auf die linke Seite von ${(x + 1)}^{6}$ .

$f' (x) = - \frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}}$ .

$- \frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$14 {(x + 1)}^{6} = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $14 {(x + 1)}^{6} = 0$ durch $14$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $14 {(x + 1)}^{6} = 0$ durch $14$ .

$\frac{14 {(x + 1)}^{6}}{14} = \frac{0}{14}$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $14$ .

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Schritt 2.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{14 {(x + 1)}^{6}}{14} = \frac{0}{14}$

Schritt 2.3.1.2.1.2

Dividiere ${(x + 1)}^{6}$ durch $1$ .

${(x + 1)}^{6} = \frac{0}{14}$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $14$ .

${(x + 1)}^{6} = 0$

Schritt 2.3.2

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.3.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x - 1)}^{8} = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 3.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 4

Werte ${(\frac{x + 1}{x - 1})}^{7}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = - 1$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $- 1$ .

${(\frac{(- 1) + 1}{(- 1) - 1})}^{7}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

${(\frac{0}{- 1 - 1})}^{7}$

Schritt 4.1.2.2

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

${(\frac{0}{- 2})}^{7}$

Schritt 4.1.2.3

Dividiere $0$ durch $- 2$ .

$0^{7}$

Schritt 4.1.2.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 1$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

${(\frac{(1) + 1}{(1) - 1})}^{7}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

${(\frac{(1) + 1}{0})}^{7}$

Schritt 4.2.2.2

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(- 1, 0)$

Schritt 5