Analysis Beispiele

Ermittle die Wendepunkte f(x)=x Quadratwurzel von 4-x^2
Schritt 1
Bestimme die zweite Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 1.1.2
Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 1.1.3
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.3.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 1.1.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.3.3
Ersetze alle durch .
Schritt 1.1.4
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 1.1.5
Kombiniere und .
Schritt 1.1.6
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.1.7
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.7.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.7.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.1.8
Kombiniere Brüche.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.8.1
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 1.1.8.2
Kombiniere und .
Schritt 1.1.8.3
Bringe in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 1.1.8.4
Kombiniere und .
Schritt 1.1.9
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.1.10
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.1.11
Addiere und .
Schritt 1.1.12
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.13
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.14
Kombiniere Brüche.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.14.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.14.2
Kombiniere und .
Schritt 1.1.14.3
Kombiniere und .
Schritt 1.1.15
Potenziere mit .
Schritt 1.1.16
Potenziere mit .
Schritt 1.1.17
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 1.1.18
Addiere und .
Schritt 1.1.19
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.1.20
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.20.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.1.20.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.1.20.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.1.21
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 1.1.22
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.23
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.24
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 1.1.25
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.1.26
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.26.1
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 1.1.26.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.1.26.3
Addiere und .
Schritt 1.1.26.4
Dividiere durch .
Schritt 1.1.27
Vereinfache .
Schritt 1.1.28
Subtrahiere von .
Schritt 1.1.29
Stelle die Terme um.
Schritt 1.2
Bestimme die zweite Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.1
Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 1.2.2
Multipliziere die Exponenten in .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.2.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 1.2.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.2.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.2.3
Vereinfache.
Schritt 1.2.4
Differenziere.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.4.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.2.4.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.2.4.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.2.4.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.4.5
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.2.4.6
Addiere und .
Schritt 1.2.5
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.5.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 1.2.5.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.2.5.3
Ersetze alle durch .
Schritt 1.2.6
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 1.2.7
Kombiniere und .
Schritt 1.2.8
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.2.9
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.9.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.9.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.2.10
Kombiniere Brüche.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.10.1
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 1.2.10.2
Kombiniere und .
Schritt 1.2.10.3
Bringe in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 1.2.11
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.2.12
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.2.13
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.2.14
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.15
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.2.16
Vereinfache Terme.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.16.1
Addiere und .
Schritt 1.2.16.2
Kombiniere und .
Schritt 1.2.16.3
Kombiniere und .
Schritt 1.2.16.4
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.17
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.17.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.17.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.17.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.2.18
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 1.2.19
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.20
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.21
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.21.1
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.21.1.1
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Schritt 1.2.21.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.21.1.3
Faktorisiere aus heraus.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.21.1.3.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.21.1.3.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.21.1.3.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.21.1.4
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 1.2.21.1.5
Kombiniere und .
Schritt 1.2.21.1.6
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.2.21.1.7
Schreibe in eine faktorisierte Form um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.21.1.7.1
Faktorisiere aus heraus.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.21.1.7.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.21.1.7.1.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.21.1.7.1.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.21.1.7.2
Kombiniere Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.21.1.7.2.1
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.21.1.7.2.1.1
Bewege .
Schritt 1.2.21.1.7.2.1.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 1.2.21.1.7.2.1.3
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.2.21.1.7.2.1.4
Addiere und .
Schritt 1.2.21.1.7.2.1.5
Dividiere durch .
Schritt 1.2.21.1.7.2.2
Vereinfache .
Schritt 1.2.21.1.8
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.21.1.8.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.2.21.1.8.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.21.1.8.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.21.1.8.4
Subtrahiere von .
Schritt 1.2.21.1.8.5
Addiere und .
Schritt 1.2.21.2
Vereine die Terme
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.21.2.1
Schreibe als ein Produkt um.
Schritt 1.2.21.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.21.2.3
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.21.2.3.1
Mutltipliziere mit .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.21.2.3.1.1
Potenziere mit .
Schritt 1.2.21.2.3.1.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 1.2.21.2.3.2
Schreibe als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.2.21.2.3.3
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.2.21.2.3.4
Addiere und .
Schritt 1.3
Die zweite Ableitung von nach ist .
Schritt 2
Setze die zweite Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1
Setze die zweite Ableitung gleich .
Schritt 2.2
Setze den Zähler gleich Null.
Schritt 2.3
Löse die Gleichung nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.1
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 2.3.2
Setze gleich .
Schritt 2.3.3
Setze gleich und löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.3.1
Setze gleich .
Schritt 2.3.3.2
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.3.2.1
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 2.3.3.2.2
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Schritt 2.3.3.2.3
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.3.2.3.1
Verwende zunächst den positiven Wert des , um die erste Lösung zu finden.
Schritt 2.3.3.2.3.2
Als Nächstes verwende den negativen Wert von , um die zweite Lösung zu finden.
Schritt 2.3.3.2.3.3
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Schritt 2.3.4
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
Schritt 2.4
Schließe die Lösungen aus, die nicht erfüllen.
Schritt 3
Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1
Ersetze in , um den Wert von zu ermitteln.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 3.1.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.2.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 3.1.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.2.3
Addiere und .
Schritt 3.1.2.4
Schreibe als um.
Schritt 3.1.2.5
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 3.1.2.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.2.7
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 3.2
Der Punkt, der durch Einsetzen von in ermittelt werden kann, ist . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.
Schritt 4
Teile in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.
Schritt 5
Setze einen Wert aus dem Intervall in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 5.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.2.1
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.2.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.2.2
Vereinfache den Nenner.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.2.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.2.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 5.2.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.2.2.2
Addiere und .
Schritt 5.2.2.3
Schreibe als um.
Schritt 5.2.2.4
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 5.2.2.5
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.2.2.5.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 5.2.2.5.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 5.2.2.6
Potenziere mit .
Schritt 5.2.3
Dividiere durch .
Schritt 5.2.4
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 5.3
Bei ist die zweite Ableitung . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall .
Ansteigend im Intervall , da
Ansteigend im Intervall , da
Schritt 6
Setze einen Wert aus dem Intervall in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 6.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.2.1
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.2.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.2
Vereinfache den Nenner.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.2.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.2.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 6.2.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.2.2
Addiere und .
Schritt 6.2.2.3
Schreibe als um.
Schritt 6.2.2.4
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 6.2.2.5
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.2.2.5.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 6.2.2.5.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 6.2.2.6
Potenziere mit .
Schritt 6.2.3
Dividiere durch .
Schritt 6.2.4
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 6.3
Bei , die zweite Ableitung ist . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall
Abfallend im Intervall da
Abfallend im Intervall da
Schritt 7
Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt .
Schritt 8