Analysis Beispiele

$f (x) = 6 x^{4} + 32 x^{3}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x^{4} + 32 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [32 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [32 x^{3}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{4}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [32 x^{3}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [32 x^{3}]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$24 x^{3} + \frac{d}{d x} [32 x^{3}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [32 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $32$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $32 x^{3}$ nach $x$ gleich $32 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 x^{3} + 32 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$24 x^{3} + 32 (3 x^{2})$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $32$ .

$f' (x) = 24 x^{3} + 96 x^{2}$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $24 x^{3} + 96 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [96 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [96 x^{2}]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $24 x^{3}$ nach $x$ gleich $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [96 x^{2}]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$24 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [96 x^{2}]$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $24$ .

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [96 x^{2}]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [96 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $96$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $96 x^{2}$ nach $x$ gleich $96 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$72 x^{2} + 96 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$72 x^{2} + 96 (2 x)$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $96$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} + 192 x$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $72 x^{2} + 192 x$ .

$72 x^{2} + 192 x$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $72 x^{2} + 192 x = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$72 x^{2} + 192 x = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $24 x$ aus $72 x^{2} + 192 x$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $24 x$ aus $72 x^{2}$ heraus.

$24 x (3 x) + 192 x = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $24 x$ aus $192 x$ heraus.

$24 x (3 x) + 24 x (8) = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $24 x$ aus $24 x (3 x) + 24 x (8)$ heraus.

$24 x (3 x + 8) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$3 x + 8 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze $3 x + 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $3 x + 8$ gleich $0$ .

$3 x + 8 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $3 x + 8 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 8$

Schritt 2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 8$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 8$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 8}{3}$

Schritt 2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 8}{3}$

Schritt 2.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 8}{3}$

Schritt 2.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{8}{3}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $24 x (3 x + 8) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - \frac{8}{3}$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $0$ in $f (x) = 6 x^{4} + 32 x^{3}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = 6 {(0)}^{4} + 32 {(0)}^{3}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 6 \cdot 0 + 32 {(0)}^{3}$

Schritt 3.1.2.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 32 {(0)}^{3}$

Schritt 3.1.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 + 32 \cdot 0$

Schritt 3.1.2.1.4

Mutltipliziere $32$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Schritt 3.1.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0$

Schritt 3.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0$ in $f (x) = 6 x^{4} + 32 x^{3}$ ermittelt werden kann, ist $(0, 0)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0, 0)$

Schritt 3.3

Ersetze $- \frac{8}{3}$ in $f (x) = 6 x^{4} + 32 x^{3}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{8}{3}$ .

$f (- \frac{8}{3}) = 6 {(- \frac{8}{3})}^{4} + 32 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{8}{3}$ an.

$f (- \frac{8}{3}) = 6 ({(- 1)}^{4} {(\frac{8}{3})}^{4}) + 32 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{8}{3}$ an.

$f (- \frac{8}{3}) = 6 ({(- 1)}^{4} (\frac{8^{4}}{3^{4}})) + 32 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- \frac{8}{3}) = 6 (1 (\frac{8^{4}}{3^{4}})) + 32 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{8^{4}}{3^{4}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{8}{3}) = 6 (\frac{8^{4}}{3^{4}}) + 32 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.4

Potenziere $8$ mit $4$ .

$f (- \frac{8}{3}) = 6 (\frac{4096}{3^{4}}) + 32 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.5

Potenziere $3$ mit $4$ .

$f (- \frac{8}{3}) = 6 (\frac{4096}{81}) + 32 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.1.6.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$f (- \frac{8}{3}) = 3 (2) (\frac{4096}{81}) + 32 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.6.2

Faktorisiere $3$ aus $81$ heraus.

$f (- \frac{8}{3}) = 3 \cdot (2 (\frac{4096}{3 \cdot 27})) + 32 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{8}{3}) = 3 \cdot (2 (\frac{4096}{3 \cdot 27})) + 32 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.6.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{8}{3}) = 2 (\frac{4096}{27}) + 32 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.7

Kombiniere $2$ und $\frac{4096}{27}$ .

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{2 \cdot 4096}{27} + 32 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.8

Mutltipliziere $2$ mit $4096$ .

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{8192}{27} + 32 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.9

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.3.2.1.9.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{8}{3}$ an.

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{8192}{27} + 32 ({(- 1)}^{3} {(\frac{8}{3})}^{3})$

Schritt 3.3.2.1.9.2

Wende die Produktregel auf $\frac{8}{3}$ an.

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{8192}{27} + 32 ({(- 1)}^{3} (\frac{8^{3}}{3^{3}}))$

Schritt 3.3.2.1.10

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{8192}{27} + 32 (- \frac{8^{3}}{3^{3}})$

Schritt 3.3.2.1.11

Potenziere $8$ mit $3$ .

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{8192}{27} + 32 (- \frac{512}{3^{3}})$

Schritt 3.3.2.1.12

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{8192}{27} + 32 (- \frac{512}{27})$

Schritt 3.3.2.1.13

Multipliziere $32 (- \frac{512}{27})$ .

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Schritt 3.3.2.1.13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $32$ .

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{8192}{27} - 32 (\frac{512}{27})$

Schritt 3.3.2.1.13.2

Kombiniere $- 32$ und $\frac{512}{27}$ .

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{8192}{27} + \frac{- 32 \cdot 512}{27}$

Schritt 3.3.2.1.13.3

Mutltipliziere $- 32$ mit $512$ .

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{8192}{27} + \frac{- 16384}{27}$

Schritt 3.3.2.1.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{8192}{27} - \frac{16384}{27}$

Schritt 3.3.2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.3.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{8192 - 16384}{27}$

Schritt 3.3.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.2.2.2.1

Subtrahiere $16384$ von $8192$ .

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{- 8192}{27}$

Schritt 3.3.2.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{8}{3}) = - \frac{8192}{27}$

Schritt 3.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{8192}{27}$ .

$- \frac{8192}{27}$

Schritt 3.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- \frac{8}{3}$ in $f (x) = 6 x^{4} + 32 x^{3}$ ermittelt werden kann, ist $(- \frac{8}{3}, - \frac{8192}{27})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- \frac{8}{3}, - \frac{8192}{27})$

Schritt 3.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(0, 0), (- \frac{8}{3}, - \frac{8192}{27})$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - \frac{8}{3}) \cup (- \frac{8}{3}, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - \frac{8}{3})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2.7\overline{6}$ .

$f'' (- 2.7\overline{6}) = 72 {(- 2.7\overline{6})}^{2} + 192 (- 2.7\overline{6})$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 2.7\overline{6}$ mit $2$ .

$f'' (- 2.7\overline{6}) = 72 \cdot 7.65\overline{4} + 192 (- 2.7\overline{6})$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $72$ mit $7.65\overline{4}$ .

$f'' (- 2.7\overline{6}) = 551.12 + 192 (- 2.7\overline{6})$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $192$ mit $- 2.7\overline{6}$ .

$f'' (- 2.7\overline{6}) = 551.12 - 531.2$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $531.2$ von $551.12$ .

$f'' (- 2.7\overline{6}) = 19.92$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $19.92$ .

$19.92$

Schritt 5.3

Bei $- 2.7\overline{6}$ ist die zweite Ableitung $19.92$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, - \frac{8}{3})$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - \frac{8}{3})$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \frac{8}{3}, 0)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.33333333$ .

$f'' (- 1.33333333) = 72 {(- 1.33333333)}^{2} + 192 (- 1.33333333)$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 1.33333333$ mit $2$ .

$f'' (- 1.33333333) = 72 \cdot 1.\overline{7} + 192 (- 1.33333333)$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $72$ mit $1.\overline{7}$ .

$f'' (- 1.33333333) = 128 + 192 (- 1.33333333)$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $192$ mit $- 1.33333333$ .

$f'' (- 1.33333333) = 128 - 256$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $256$ von $128$ .

$f'' (- 1.33333333) = - 128$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 128$ .

$- 128$

Schritt 6.3

Bei $- 1.33333333$ , die zweite Ableitung ist $- 128$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \frac{8}{3}, 0)$

Abfallend im Intervall $(- \frac{8}{3}, 0)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.1$ .

$f'' (0.1) = 72 {(0.1)}^{2} + 192 (0.1)$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $0.1$ mit $2$ .

$f'' (0.1) = 72 \cdot 0.01 + 192 (0.1)$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $72$ mit $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.72 + 192 (0.1)$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $192$ mit $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.72 + 19.2$

Schritt 7.2.2

Addiere $0.72$ und $19.2$ .

$f'' (0.1) = 19.92$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $19.92$ .

$19.92$

Schritt 7.3

Bei $0.1$ ist die zweite Ableitung $19.92$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(0, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(0, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall sind die Wendepunkte $(- \frac{8}{3}, - \frac{8192}{27}), (0, 0)$ .

$(- \frac{8}{3}, - \frac{8192}{27}), (0, 0)$

Schritt 9