Analysis Beispiele

$f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{4} - 4 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{4}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3}$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 4 (3 x^{2})$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2}$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $12 x^{3} - 12 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x^{3}$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2}$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 12 (2 x)$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 24 x$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $36 x^{2} - 24 x$ .

$36 x^{2} - 24 x$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $36 x^{2} - 24 x = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$36 x^{2} - 24 x = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $12 x$ aus $36 x^{2} - 24 x$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $12 x$ aus $36 x^{2}$ heraus.

$12 x (3 x) - 24 x = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $12 x$ aus $- 24 x$ heraus.

$12 x (3 x) + 12 x (- 2) = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $12 x$ aus $12 x (3 x) + 12 x (- 2)$ heraus.

$12 x (3 x - 2) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$3 x - 2 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze $3 x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $3 x - 2$ gleich $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $3 x - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 2$

Schritt 2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 2.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $12 x (3 x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{2}{3}$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $0$ in $f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = 3 {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{3}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 - 4 {(0)}^{3}$

Schritt 3.1.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{3}$

Schritt 3.1.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0$

Schritt 3.1.2.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Schritt 3.1.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0$

Schritt 3.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0$ in $f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3}$ ermittelt werden kann, ist $(0, 0)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0, 0)$

Schritt 3.3

Ersetze $\frac{2}{3}$ in $f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 {(\frac{2}{3})}^{4} - 4 {(\frac{2}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{3}$ an.

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{2^{4}}{3^{4}}) - 4 {(\frac{2}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.2

Potenziere $2$ mit $4$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3^{4}}) - 4 {(\frac{2}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.3

Potenziere $3$ mit $4$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{81}) - 4 {(\frac{2}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.1.4.1

Faktorisiere $3$ aus $81$ heraus.

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3 (27)}) - 4 {(\frac{2}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3 \cdot 27}) - 4 {(\frac{2}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - 4 {(\frac{2}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.5

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{3}$ an.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - 4 \frac{2^{3}}{3^{3}}$

Schritt 3.3.2.1.6

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - 4 \frac{8}{3^{3}}$

Schritt 3.3.2.1.7

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - 4 (\frac{8}{27})$

Schritt 3.3.2.1.8

Multipliziere $- 4 (\frac{8}{27})$ .

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Schritt 3.3.2.1.8.1

Kombiniere $- 4$ und $\frac{8}{27}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + \frac{- 4 \cdot 8}{27}$

Schritt 3.3.2.1.8.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + \frac{- 32}{27}$

Schritt 3.3.2.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{32}{27}$

Schritt 3.3.2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.3.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16 - 32}{27}$

Schritt 3.3.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.2.2.2.1

Subtrahiere $32$ von $16$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{- 16}{27}$

Schritt 3.3.2.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{2}{3}) = - \frac{16}{27}$

Schritt 3.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{16}{27}$ .

$- \frac{16}{27}$

Schritt 3.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $\frac{2}{3}$ in $f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3}$ ermittelt werden kann, ist $(\frac{2}{3}, - \frac{16}{27})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(\frac{2}{3}, - \frac{16}{27})$

Schritt 3.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(0, 0), (\frac{2}{3}, - \frac{16}{27})$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = 36 {(- 0.1)}^{2} - 24 \cdot - 0.1$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 0.1$ mit $2$ .

$f'' (- 0.1) = 36 \cdot 0.01 - 24 \cdot - 0.1$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $36$ mit $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = 0.36 - 24 \cdot - 0.1$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $- 24$ mit $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = 0.36 + 2.4$

Schritt 5.2.2

Addiere $0.36$ und $2.4$ .

$f'' (- 0.1) = 2.76$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $2.76$ .

$2.76$

Schritt 5.3

Bei $- 0.1$ ist die zweite Ableitung $2.76$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, 0)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, 0)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \frac{2}{3})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.\overline{3}$ .

$f'' (0.\overline{3}) = 36 {(0.\overline{3})}^{2} - 24 \cdot 0.\overline{3}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $0.\overline{3}$ mit $2$ .

$f'' (0.\overline{3}) = 36 \cdot 0.\overline{1} - 24 \cdot 0.\overline{3}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $36$ mit $0.\overline{1}$ .

$f'' (0.\overline{3}) = 4 - 24 \cdot 0.\overline{3}$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $- 24$ mit $0.\overline{3}$ .

$f'' (0.\overline{3}) = 4 - 8$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$f'' (0.\overline{3}) = - 4$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 4$ .

$- 4$

Schritt 6.3

Bei $0.\overline{3}$ , die zweite Ableitung ist $- 4$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(0, \frac{2}{3})$

Abfallend im Intervall $(0, \frac{2}{3})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{2}{3}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.7\overline{6}$ .

$f'' (0.7\overline{6}) = 36 {(0.7\overline{6})}^{2} - 24 \cdot 0.7\overline{6}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $0.7\overline{6}$ mit $2$ .

$f'' (0.7\overline{6}) = 36 \cdot 0.58\overline{7} - 24 \cdot 0.7\overline{6}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $36$ mit $0.58\overline{7}$ .

$f'' (0.7\overline{6}) = 21.16 - 24 \cdot 0.7\overline{6}$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $- 24$ mit $0.7\overline{6}$ .

$f'' (0.7\overline{6}) = 21.16 - 18.4$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $18.4$ von $21.16$ .

$f'' (0.7\overline{6}) = 2.76$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $2.76$ .

$2.76$

Schritt 7.3

Bei $0.7\overline{6}$ ist die zweite Ableitung $2.76$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(\frac{2}{3}, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(\frac{2}{3}, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 0), (\frac{2}{3}, - \frac{16}{27})$ .

$(0, 0), (\frac{2}{3}, - \frac{16}{27})$

Schritt 9