Analysis Beispiele

$f (x) = - 3 x^{4} + 28 x^{3} - 60 x^{2}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 3 x^{4} + 28 x^{3} - 60 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{4}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$- 12 x^{3} + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [28 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $28$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $28 x^{3}$ nach $x$ gleich $28 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 12 x^{3} + 28 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 12 x^{3} + 28 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $28$ .

$- 12 x^{3} + 84 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 60$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 60 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 12 x^{3} + 84 x^{2} - 60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 12 x^{3} + 84 x^{2} - 60 (2 x)$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 60$ .

$f' (x) = - 12 x^{3} + 84 x^{2} - 120 x$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 12 x^{3} + 84 x^{2} - 120 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [84 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 120 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [84 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 120 x]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [84 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 120 x]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [84 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 120 x]$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 12$ .

$- 36 x^{2} + \frac{d}{d x} [84 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 120 x]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [84 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $84$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $84 x^{2}$ nach $x$ gleich $84 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 36 x^{2} + 84 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 120 x]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 36 x^{2} + 84 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 120 x]$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $84$ .

$- 36 x^{2} + 168 x + \frac{d}{d x} [- 120 x]$

Schritt 1.2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 120 x]$ .

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Schritt 1.2.4.1

Da $- 120$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 120 x$ nach $x$ gleich $- 120 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 36 x^{2} + 168 x - 120 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 36 x^{2} + 168 x - 120 \cdot 1$

Schritt 1.2.4.3

Mutltipliziere $- 120$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 36 x^{2} + 168 x - 120$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 36 x^{2} + 168 x - 120$ .

$- 36 x^{2} + 168 x - 120$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 36 x^{2} + 168 x - 120 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- 36 x^{2} + 168 x - 120 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $- 12$ aus $- 36 x^{2} + 168 x - 120$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $- 12$ aus $- 36 x^{2}$ heraus.

$- 12 (3 x^{2}) + 168 x - 120 = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $- 12$ aus $168 x$ heraus.

$- 12 (3 x^{2}) - 12 (- 14 x) - 120 = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $- 12$ aus $- 120$ heraus.

$- 12 (3 x^{2}) - 12 (- 14 x) - 12 \cdot 10 = 0$

Schritt 2.2.4

Faktorisiere $- 12$ aus $- 12 (3 x^{2}) - 12 (- 14 x)$ heraus.

$- 12 (3 x^{2} - 14 x) - 12 \cdot 10 = 0$

Schritt 2.2.5

Faktorisiere $- 12$ aus $- 12 (3 x^{2} - 14 x) - 12 (10)$ heraus.

$- 12 (3 x^{2} - 14 x + 10) = 0$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $- 12 (3 x^{2} - 14 x + 10) = 0$ durch $- 12$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 12 (3 x^{2} - 14 x + 10) = 0$ durch $- 12$ .

$\frac{- 12 (3 x^{2} - 14 x + 10)}{- 12} = \frac{0}{- 12}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 12$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 12 (3 x^{2} - 14 x + 10)}{- 12} = \frac{0}{- 12}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $3 x^{2} - 14 x + 10$ durch $1$ .

$3 x^{2} - 14 x + 10 = \frac{0}{- 12}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $- 12$ .

$3 x^{2} - 14 x + 10 = 0$

Schritt 2.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.5

Setze die Werte $a = 3$ , $b = - 14$ und $c = 10$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 10)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1.1

Potenziere $- 14$ mit $2$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 10$ .

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Schritt 2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 12 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $10$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 120}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.3

Subtrahiere $120$ von $196$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.4

Schreibe $76$ als $2^{2} \cdot 19$ um.

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Schritt 2.6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $76$ heraus.

$x = \frac{14 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{14 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{14 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{14 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$

Schritt 2.6.3

Vereinfache $\frac{14 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{19}}{3}$

Schritt 2.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1.1

Potenziere $- 14$ mit $2$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 10$ .

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Schritt 2.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 12 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $10$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 120}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.1.3

Subtrahiere $120$ von $196$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.1.4

Schreibe $76$ als $2^{2} \cdot 19$ um.

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Schritt 2.7.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $76$ heraus.

$x = \frac{14 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{14 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{14 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{14 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$

Schritt 2.7.3

Vereinfache $\frac{14 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{19}}{3}$

Schritt 2.7.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{7 + \sqrt{19}}{3}$

Schritt 2.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.8.1.1

Potenziere $- 14$ mit $2$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 10$ .

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Schritt 2.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 12 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $10$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 120}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.1.3

Subtrahiere $120$ von $196$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.1.4

Schreibe $76$ als $2^{2} \cdot 19$ um.

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Schritt 2.8.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $76$ heraus.

$x = \frac{14 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{14 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{14 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{14 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$

Schritt 2.8.3

Vereinfache $\frac{14 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{19}}{3}$

Schritt 2.8.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{7 - \sqrt{19}}{3}$

Schritt 2.9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{7 + \sqrt{19}}{3}, \frac{7 - \sqrt{19}}{3}$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $3.78629964$ in $f (x) = - 3 x^{4} + 28 x^{3} - 60 x^{2}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3.78629964$ .

$f (3.78629964) = - 3 {(3.78629964)}^{4} + 28 {(3.78629964)}^{3} - 60 {(3.78629964)}^{2}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Potenziere $3.78629964$ mit $4$ .

$f (3.78629964) = - 3 \cdot 205.52276035 + 28 {(3.78629964)}^{3} - 60 {(3.78629964)}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $205.52276035$ .

$f (3.78629964) = - 616.56828105 + 28 {(3.78629964)}^{3} - 60 {(3.78629964)}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.3

Potenziere $3.78629964$ mit $3$ .

$f (3.78629964) = - 616.56828105 + 28 \cdot 54.28063794 - 60 {(3.78629964)}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.4

Mutltipliziere $28$ mit $54.28063794$ .

$f (3.78629964) = - 616.56828105 + 1519.85786257 - 60 {(3.78629964)}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.5

Potenziere $3.78629964$ mit $2$ .

$f (3.78629964) = - 616.56828105 + 1519.85786257 - 60 \cdot 14.33606502$

Schritt 3.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 60$ mit $14.33606502$ .

$f (3.78629964) = - 616.56828105 + 1519.85786257 - 860.16390139$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.1.2.2.1

Addiere $- 616.56828105$ und $1519.85786257$ .

$f (3.78629964) = 903.28958152 - 860.16390139$

Schritt 3.1.2.2.2

Subtrahiere $860.16390139$ von $903.28958152$ .

$f (3.78629964) = 43.12568012$

Schritt 3.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $43.12568012$ .

$43.12568012$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $3.78629964$ in $f (x) = - 3 x^{4} + 28 x^{3} - 60 x^{2}$ ermittelt werden kann, ist $(3.78629964, 43.12568012)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(3.78629964, 43.12568012)$

Schritt 3.3

Ersetze $0.88036701$ in $f (x) = - 3 x^{4} + 28 x^{3} - 60 x^{2}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.88036701$ .

$f (0.88036701) = - 3 {(0.88036701)}^{4} + 28 {(0.88036701)}^{3} - 60 {(0.88036701)}^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.1

Potenziere $0.88036701$ mit $4$ .

$f (0.88036701) = - 3 \cdot 0.60069643 + 28 {(0.88036701)}^{3} - 60 {(0.88036701)}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $0.60069643$ .

$f (0.88036701) = - 1.80208931 + 28 {(0.88036701)}^{3} - 60 {(0.88036701)}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.3

Potenziere $0.88036701$ mit $3$ .

$f (0.88036701) = - 1.80208931 + 28 \cdot 0.68232501 - 60 {(0.88036701)}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.4

Mutltipliziere $28$ mit $0.68232501$ .

$f (0.88036701) = - 1.80208931 + 19.10510038 - 60 {(0.88036701)}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.5

Potenziere $0.88036701$ mit $2$ .

$f (0.88036701) = - 1.80208931 + 19.10510038 - 60 \cdot 0.77504608$

Schritt 3.3.2.1.6

Mutltipliziere $- 60$ mit $0.77504608$ .

$f (0.88036701) = - 1.80208931 + 19.10510038 - 46.50276526$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.3.2.2.1

Addiere $- 1.80208931$ und $19.10510038$ .

$f (0.88036701) = 17.30301107 - 46.50276526$

Schritt 3.3.2.2.2

Subtrahiere $46.50276526$ von $17.30301107$ .

$f (0.88036701) = - 29.19975419$

Schritt 3.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 29.19975419$ .

$- 29.19975419$

Schritt 3.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0.88036701$ in $f (x) = - 3 x^{4} + 28 x^{3} - 60 x^{2}$ ermittelt werden kann, ist $(0.88036701, - 29.19975419)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0.88036701, - 29.19975419)$

Schritt 3.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(3.78629964, 43.12568012), (0.88036701, - 29.19975419)$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, 0.88036701) \cup (0.88036701, 3.78629964) \cup (3.78629964, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0.88036701)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.78036701$ .

$f'' (0.78036701) = - 36 {(0.78036701)}^{2} + 168 (0.78036701) - 120$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $0.78036701$ mit $2$ .

$f'' (0.78036701) = - 36 \cdot 0.60897268 + 168 (0.78036701) - 120$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 36$ mit $0.60897268$ .

$f'' (0.78036701) = - 21.92301662 + 168 (0.78036701) - 120$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $168$ mit $0.78036701$ .

$f'' (0.78036701) = - 21.92301662 + 131.10165916 - 120$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.2.2.1

Addiere $- 21.92301662$ und $131.10165916$ .

$f'' (0.78036701) = 109.17864253 - 120$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $120$ von $109.17864253$ .

$f'' (0.78036701) = - 10.82135746$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 10.82135746$ .

$- 10.82135746$

Schritt 5.3

Bei $0.78036701$ , die zweite Ableitung ist $- 10.82135746$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, 0.88036701)$

Abfallend im Intervall $(- \infty, 0.88036701)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0.88036701, 3.78629964)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2.33333333$ .

$f'' (2.33333333) = - 36 {(2.33333333)}^{2} + 168 (2.33333333) - 120$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $2.33333333$ mit $2$ .

$f'' (2.33333333) = - 36 \cdot 5.\overline{4} + 168 (2.33333333) - 120$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 36$ mit $5.\overline{4}$ .

$f'' (2.33333333) = - 196 + 168 (2.33333333) - 120$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $168$ mit $2.33333333$ .

$f'' (2.33333333) = - 196 + 392 - 120$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 6.2.2.1

Addiere $- 196$ und $392$ .

$f'' (2.33333333) = 196 - 120$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $120$ von $196$ .

$f'' (2.33333333) = 76$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $76$ .

$76$

Schritt 6.3

Bei $2.33333333$ ist die zweite Ableitung $76$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(0.88036701, 3.78629964)$ .

Ansteigend im Intervall $(0.88036701, 3.78629964)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(3.78629964, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3.88629964$ .

$f'' (3.88629964) = - 36 {(3.88629964)}^{2} + 168 (3.88629964) - 120$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $3.88629964$ mit $2$ .

$f'' (3.88629964) = - 36 \cdot 15.10332495 + 168 (3.88629964) - 120$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $- 36$ mit $15.10332495$ .

$f'' (3.88629964) = - 543.7196983 + 168 (3.88629964) - 120$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $168$ mit $3.88629964$ .

$f'' (3.88629964) = - 543.7196983 + 652.89834083 - 120$

Schritt 7.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 7.2.2.1

Addiere $- 543.7196983$ und $652.89834083$ .

$f'' (3.88629964) = 109.17864253 - 120$

Schritt 7.2.2.2

Subtrahiere $120$ von $109.17864253$ .

$f'' (3.88629964) = - 10.82135746$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 10.82135746$ .

$- 10.82135746$

Schritt 7.3

Bei $3.88629964$ , die zweite Ableitung ist $- 10.82135746$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(3.78629964, \infty)$

Abfallend im Intervall $(3.78629964, \infty)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 8

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall sind die Wendepunkte $(0.88036701, - 29.19975419), (3.78629964, 43.12568012)$ .

$(0.88036701, - 29.19975419), (3.78629964, 43.12568012)$

Schritt 9