Analysis Beispiele

$y = \frac{3 x}{x^{2} - 1}$

Schritt 1

Schreibe $y = \frac{3 x}{x^{2} - 1}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{3 x}{x^{2} - 1}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3 x}{x^{2} - 1}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 1}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} - 1})$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{2} - 1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 2.1.3

Differenziere.

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Schritt 2.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 2.1.3.2

Mutltipliziere $x^{2} - 1$ mit $1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 2.1.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 2.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 2.1.3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 2.1.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.3.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - x (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 2.1.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 2.1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 2.1.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 2.1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 2.1.7

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 2.1.8

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{- x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 2.1.9

Kombiniere $3$ und $\frac{- x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{3 (- x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.10

Vereinfache.

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Schritt 2.1.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{3 (- x^{2}) + 3 \cdot - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.10.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.10.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (x) = \frac{- 3 x^{2} + 3 \cdot - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.10.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{- 3 x^{2} - 3}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 3 x^{2} - 3) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{({(x^{2} - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} - 1)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 3 x^{2} - 3) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 3 x^{2} - 3) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 3 x^{2} - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.2.3

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3)) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x + \frac{d}{d x} (- 3)) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.2.6

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x + 0) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.2.7

Addiere $- 6 x$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - (- 3 x^{2} - 3) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - (- 3 x^{2} - 3) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - (- 3 x^{2} - 3) (2 (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.4

Differenziere.

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Schritt 2.2.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - 2 (- 3 x^{2} - 3) ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - 2 (- 3 x^{2} - 3) ((x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - 2 (- 3 x^{2} - 3) ((x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.4.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - 2 (- 3 x^{2} - 3) ((x^{2} - 1) (2 x + 0))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.4.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.4.5.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - 2 (- 3 x^{2} - 3) ((x^{2} - 1) (2 x))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.4.5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - 2 (- 3 x^{2} - 3) (2 \cdot ((x^{2} - 1) x))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.4.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - 4 (- 3 x^{2} - 3) ((x^{2} - 1) x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) ((x^{2} - 1) x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.5.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{- 6 {(x^{2} - 1)}^{2} x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.2

Schreibe ${(x^{2} - 1)}^{2}$ als $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ um.

$f'' (x) = \frac{- 6 ((x^{2} - 1) (x^{2} - 1)) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.3

Multipliziere $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.5.3.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{2} (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1)) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1)) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.5.3.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.5.3.1.4.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.5.3.1.4.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.4.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{4} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.4.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{4} - 1 \cdot x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.4.1.3

Schreibe $- 1 x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{4} - x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.4.1.4

Schreibe $- 1 x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{4} - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.4.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.4.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $- x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{4} - 2 x^{2} + 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{(- 6 x^{4} - 6 (- 2 x^{2}) - 6 \cdot 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.6

Vereinfache.

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Schritt 2.2.5.3.1.6.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{(- 6 x^{4} + 12 x^{2} - 6 \cdot 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.6.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 6 x^{4} + 12 x^{2} - 6) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{4} x + 12 x^{2} x - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.3.1.8.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.5.3.1.8.1.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (x \cdot x^{4}) + 12 x^{2} x - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.8.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

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Schritt 2.2.5.3.1.8.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (x \cdot x^{4}) + 12 x^{2} x - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.8.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{1 + 4} + 12 x^{2} x - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.8.1.3

Addiere $1$ und $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{2} x - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.8.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.3.1.8.2.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 (x \cdot x^{2}) - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.8.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.2.5.3.1.8.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 (x \cdot x^{2}) - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.8.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{1 + 2} - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.8.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.5.3.1.9.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + (12 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.9.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + (12 x^{2} + 12) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.10

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.3.1.10.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.3.1.10.1.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.3.1.10.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + (12 x^{2} + 12) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.10.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + (12 x^{2} + 12) (x^{2 + 1} - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.10.1.2

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + (12 x^{2} + 12) (x^{3} - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.10.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + (12 x^{2} + 12) (x^{3} - x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.11

Multipliziere $(12 x^{2} + 12) (x^{3} - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.5.3.1.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{2} (x^{3} - x) + 12 (x^{3} - x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{2} x^{3} + 12 x^{2} (- x) + 12 (x^{3} - x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{2} x^{3} + 12 x^{2} (- x) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.12

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.5.3.1.12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.5.3.1.12.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.5.3.1.12.1.1.1

Bewege $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 (x^{3} x^{2}) + 12 x^{2} (- x) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.12.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{3 + 2} + 12 x^{2} (- x) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.12.1.1.3

Addiere $3$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} + 12 x^{2} (- x) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.12.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} + 12 \cdot (- 1 x^{2} x) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.12.1.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.5.3.1.12.1.3.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} + 12 \cdot (- 1 (x \cdot x^{2})) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.12.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.2.5.3.1.12.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} + 12 \cdot (- 1 (x \cdot x^{2})) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.12.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} + 12 \cdot (- 1 x^{1 + 2}) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.12.1.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} + 12 \cdot (- 1 x^{3}) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.12.1.4

Mutltipliziere $12$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} - 12 x^{3} + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.12.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} - 12 x^{3} + 12 x^{3} - 12 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.12.2

Addiere $- 12 x^{3}$ und $12 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} + 0 - 12 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.12.3

Addiere $12 x^{5}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} - 12 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.2

Addiere $- 6 x^{5}$ und $12 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x - 12 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.3

Subtrahiere $12 x$ von $- 6 x$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{5} + 12 x^{3} - 18 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.5.4.1

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x^{5} + 12 x^{3} - 18 x$ heraus.

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Schritt 2.2.5.4.1.1

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x^{5}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{6 x (x^{4}) + 12 x^{3} - 18 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.4.1.2

Faktorisiere $6 x$ aus $12 x^{3}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{6 x (x^{4}) + 6 x (2 x^{2}) - 18 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.4.1.3

Faktorisiere $6 x$ aus $- 18 x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{6 x (x^{4}) + 6 x (2 x^{2}) + 6 x (- 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.4.1.4

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x (x^{4}) + 6 x (2 x^{2})$ heraus.

$f'' (x) = \frac{6 x (x^{4} + 2 x^{2}) + 6 x (- 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.4.1.5

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x (x^{4} + 2 x^{2}) + 6 x (- 3)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{6 x (x^{4} + 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.4.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{6 x ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.4.3

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (u^{2} + 2 u - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.4.4

Faktorisiere $u^{2} + 2 u - 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.5.4.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 3$ und deren Summe $2$ ist.

$- 1, 3$

Schritt 2.2.5.4.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$f'' (x) = \frac{6 x ((u - 1) (u + 3))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.4.5

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x ((x^{2} - 1) (x^{2} + 3))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.4.6

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{6 x ((x^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 3))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.4.7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.5.5.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{6 x (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)}{{(x^{2} - 1^{2})}^{4}}$

Schritt 2.2.5.5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)}{{((x + 1) (x - 1))}^{4}}$

Schritt 2.2.5.5.3

Wende die Produktregel auf $(x + 1) (x - 1)$ an.

$f'' (x) = \frac{6 x (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x + 1$ und ${(x + 1)}^{4}$ .

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Schritt 2.2.5.6.1

Faktorisiere $x + 1$ aus $6 x (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x + 1) ((6 x (x - 1)) (x^{2} + 3))}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.5.6.2.1

Faktorisiere $x + 1$ aus ${(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x + 1) ((6 x (x - 1)) (x^{2} + 3))}{(x + 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4})}$

Schritt 2.2.5.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{(x + 1) ((6 x (x - 1)) (x^{2} + 3))}{(x + 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4})}$

Schritt 2.2.5.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{(6 x (x - 1)) (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x - 1$ und ${(x - 1)}^{4}$ .

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Schritt 2.2.5.7.1

Faktorisiere $x - 1$ aus $(6 x (x - 1)) (x^{2} + 3)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((6 x) (x^{2} + 3))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.5.7.2.1

Faktorisiere $x - 1$ aus ${(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((6 x) (x^{2} + 3))}{(x - 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3})}$

Schritt 2.2.5.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((6 x) (x^{2} + 3))}{(x - 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3})}$

Schritt 2.2.5.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{(6 x) (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{6 x (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{6 x (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$ .

$\frac{6 x (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{6 x (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{6 x (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$6 x (x^{2} + 3) = 0$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 3 = 0$

Schritt 3.3.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.3.3

Setze $x^{2} + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.1

Setze $x^{2} + 3$ gleich $0$ .

$x^{2} + 3 = 0$

Schritt 3.3.3.2

Löse $x^{2} + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 3$

Schritt 3.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Schritt 3.3.3.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Schritt 3.3.3.2.3.1

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Schritt 3.3.3.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Schritt 3.3.3.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{3}$

Schritt 3.3.3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.3.3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{3}$

Schritt 3.3.3.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{3}$

Schritt 3.3.3.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Schritt 3.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $6 x (x^{2} + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $0$ in $f (x) = \frac{3 x}{x^{2} - 1}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \frac{3 (0)}{{(0)}^{2} - 1}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0^{2} - 1}$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 - 1}$

Schritt 4.1.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.1.2.3

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$f (0) = 0$

Schritt 4.1.2.4

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0$ in $f (x) = \frac{3 x}{x^{2} - 1}$ ermittelt werden kann, ist $(0, 0)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0, 0)$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{6 (- 0.1) ({(- 0.1)}^{2} + 3)}{{((- 0.1) + 1)}^{3} {((- 0.1) - 1)}^{3}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $6$ mit $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 0.6 ({(- 0.1)}^{2} + 3)}{{(- 0.1 + 1)}^{3} {(- 0.1 - 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 0.6$ mit ${(- 0.1)}^{2} + 3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 1.806}{{(- 0.1 + 1)}^{3} {(- 0.1 - 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Addiere $- 0.1$ und $1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 1.806}{{0.9}^{3} {(- 0.1 - 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 1.806}{{0.9}^{3} {(- 1.1)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.3

Potenziere $0.9$ mit $3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 1.806}{0.729 {(- 1.1)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.4

Potenziere $- 1.1$ mit $3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 1.806}{0.729 \cdot - 1.331}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.3.1

Mutltipliziere $0.729$ mit $- 1.331$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 1.806}{- 0.970299}$

Schritt 6.2.3.2

Dividiere $- 1.806$ durch $- 0.970299$ .

$f'' (- 0.1) = 1.86128193$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $1.86128193$ .

$1.86128193$

Schritt 6.3

Bei $- 0.1$ ist die zweite Ableitung $1.86128193$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, 0)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, 0)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{6 (0.1) ({(0.1)}^{2} + 3)}{{((0.1) + 1)}^{3} {((0.1) - 1)}^{3}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.1.1

Mutltipliziere $6$ mit $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{0.6 ({0.1}^{2} + 3)}{{(0.1 + 1)}^{3} {(0.1 - 1)}^{3}}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $0.6$ mit ${0.1}^{2} + 3$ .

$f'' (0.1) = \frac{1.806}{{(0.1 + 1)}^{3} {(0.1 - 1)}^{3}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Addiere $0.1$ und $1$ .

$f'' (0.1) = \frac{1.806}{{1.1}^{3} {(0.1 - 1)}^{3}}$

Schritt 7.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{1.806}{{1.1}^{3} {(- 0.9)}^{3}}$

Schritt 7.2.2.3

Potenziere $1.1$ mit $3$ .

$f'' (0.1) = \frac{1.806}{1.331 {(- 0.9)}^{3}}$

Schritt 7.2.2.4

Potenziere $- 0.9$ mit $3$ .

$f'' (0.1) = \frac{1.806}{1.331 \cdot - 0.729}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.2.3.1

Mutltipliziere $1.331$ mit $- 0.729$ .

$f'' (0.1) = \frac{1.806}{- 0.970299}$

Schritt 7.2.3.2

Dividiere $1.806$ durch $- 0.970299$ .

$f'' (0.1) = - 1.86128193$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 1.86128193$ .

$- 1.86128193$

Schritt 7.3

Bei $0.1$ , die zweite Ableitung ist $- 1.86128193$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(0, \infty)$

Abfallend im Intervall $(0, \infty)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 8

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Schritt 9