Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 2$

Schritt 1

Schreibe $y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 2$ als Funktion.

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 2$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{3} x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.1.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.1.2.4

Kombiniere $\frac{3}{3}$ und $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.1.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.1.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.1.2.5.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 2.1.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x + 3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.1.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x + 3 + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.1.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.5.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x + 3 + 0$

Schritt 2.1.5.2

Addiere $x^{2} - 4 x + 3$ und $0$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x + 3$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Differenziere.

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Schritt 2.2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 2.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Schritt 2.2.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 2.2.2.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 x - 4 + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.2.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 2 x - 4 + 0$

Schritt 2.2.3.2

Addiere $2 x - 4$ und $0$ .

$f'' (x) = 2 x - 4$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $2 x - 4$ .

$2 x - 4$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $2 x - 4 = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$2 x - 4 = 0$

Schritt 3.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 4$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 4$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 4$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{4}{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{4}{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{4}{2}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Dividiere $4$ durch $2$ .

$x = 2$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $2$ in $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 2$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot {(2)}^{3} - 2 {(2)}^{2} + 3 (2) + 2$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot 8 - 2 {(2)}^{2} + 3 (2) + 2$

Schritt 4.1.2.1.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $8$ .

$f (2) = \frac{8}{3} - 2 {(2)}^{2} + 3 (2) + 2$

Schritt 4.1.2.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = \frac{8}{3} - 2 \cdot 4 + 3 (2) + 2$

Schritt 4.1.2.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$f (2) = \frac{8}{3} - 8 + 3 (2) + 2$

Schritt 4.1.2.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (2) = \frac{8}{3} - 8 + 6 + 2$

Schritt 4.1.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 4.1.2.2.1

Schreibe $- 8$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (2) = \frac{8}{3} + \frac{- 8}{1} + 6 + 2$

Schritt 4.1.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{- 8}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{8}{3} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{3}{3} + 6 + 2$

Schritt 4.1.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{- 8}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + 6 + 2$

Schritt 4.1.2.2.4

Schreibe $6$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (2) = \frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{6}{1} + 2$

Schritt 4.1.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{6}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{6}{1} \cdot \frac{3}{3} + 2$

Schritt 4.1.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{6}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3} + 2$

Schritt 4.1.2.2.7

Schreibe $2$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (2) = \frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3} + \frac{2}{1}$

Schritt 4.1.2.2.8

Mutltipliziere $\frac{2}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3} + \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 4.1.2.2.9

Mutltipliziere $\frac{2}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (2) = \frac{8 - 8 \cdot 3 + 6 \cdot 3 + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.1.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.4.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $3$ .

$f (2) = \frac{8 - 24 + 6 \cdot 3 + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.1.2.4.2

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$f (2) = \frac{8 - 24 + 18 + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.1.2.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f (2) = \frac{8 - 24 + 18 + 6}{3}$

Schritt 4.1.2.5

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.1.2.5.1

Subtrahiere $24$ von $8$ .

$f (2) = \frac{- 16 + 18 + 6}{3}$

Schritt 4.1.2.5.2

Addiere $- 16$ und $18$ .

$f (2) = \frac{2 + 6}{3}$

Schritt 4.1.2.5.3

Addiere $2$ und $6$ .

$f (2) = \frac{8}{3}$

Schritt 4.1.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{8}{3}$ .

$\frac{8}{3}$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $2$ in $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 2$ ermittelt werden kann, ist $(2, \frac{8}{3})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(2, \frac{8}{3})$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 2)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.9$ .

$f'' (1.9) = 2 (1.9) - 4$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1.9$ .

$f'' (1.9) = 3.8 - 4$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $4$ von $3.8$ .

$f'' (1.9) = - 0.2$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.2$ .

$- 0.2$

Schritt 6.3

Bei $1.9$ , die zweite Ableitung ist $- 0.2$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, 2)$

Abfallend im Intervall $(- \infty, 2)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(2, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2.1$ .

$f'' (2.1) = 2 (2.1) - 4$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2.1$ .

$f'' (2.1) = 4.2 - 4$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $4$ von $4.2$ .

$f'' (2.1) = 0.2$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.2$ .

$0.2$

Schritt 7.3

Bei $2.1$ ist die zweite Ableitung $0.2$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(2, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(2, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(2, \frac{8}{3})$ .

$(2, \frac{8}{3})$

Schritt 9