Analysis Beispiele

$f (x) = 10 x^{6} - 13 x^{5}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $10 x^{6} - 13 x^{5}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [10 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 13 x^{5}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (10 x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 13 x^{5})$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [10 x^{6}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 x^{6}$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$f' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 13 x^{5})$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$f' (x) = 10 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 13 x^{5})$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $6$ mit $10$ .

$f' (x) = 60 x^{5} + \frac{d}{d x} (- 13 x^{5})$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 13 x^{5}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 13$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 13 x^{5}$ nach $x$ gleich $- 13 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = 60 x^{5} - 13 \frac{d}{d x} x^{5}$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$f' (x) = 60 x^{5} - 13 (5 x^{4})$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 13$ .

$f' (x) = 60 x^{5} - 65 x^{4}$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $60 x^{5} - 65 x^{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [60 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 65 x^{4}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (60 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 65 x^{4})$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [60 x^{5}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $60$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $60 x^{5}$ nach $x$ gleich $60 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f'' (x) = 60 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 65 x^{4})$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$f'' (x) = 60 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 65 x^{4})$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $60$ .

$f'' (x) = 300 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 65 x^{4})$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 65 x^{4}]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $- 65$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 65 x^{4}$ nach $x$ gleich $- 65 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 300 x^{4} - 65 \frac{d}{d x} x^{4}$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f'' (x) = 300 x^{4} - 65 (4 x^{3})$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 65$ .

$f'' (x) = 300 x^{4} - 260 x^{3}$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $300 x^{4} - 260 x^{3}$ .

$300 x^{4} - 260 x^{3}$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $300 x^{4} - 260 x^{3} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$300 x^{4} - 260 x^{3} = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $20 x^{3}$ aus $300 x^{4} - 260 x^{3}$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $20 x^{3}$ aus $300 x^{4}$ heraus.

$20 x^{3} (15 x) - 260 x^{3} = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $20 x^{3}$ aus $- 260 x^{3}$ heraus.

$20 x^{3} (15 x) + 20 x^{3} (- 13) = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $20 x^{3}$ aus $20 x^{3} (15 x) + 20 x^{3} (- 13)$ heraus.

$20 x^{3} (15 x - 13) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{3} = 0$

$15 x - 13 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x^{3}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x^{3}$ gleich $0$ .

$x^{3} = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $x^{3} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 2.4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 2.4.2.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze $15 x - 13$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $15 x - 13$ gleich $0$ .

$15 x - 13 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $15 x - 13 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Addiere $13$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$15 x = 13$

Schritt 2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $15 x = 13$ durch $15$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $15 x = 13$ durch $15$ .

$\frac{15 x}{15} = \frac{13}{15}$

Schritt 2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $15$ .

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Schritt 2.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{15 x}{15} = \frac{13}{15}$

Schritt 2.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{13}{15}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $20 x^{3} (15 x - 13) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{13}{15}$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $0$ in $f (x) = 10 x^{6} - 13 x^{5}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = 10 {(0)}^{6} - 13 {(0)}^{5}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 10 \cdot 0 - 13 {(0)}^{5}$

Schritt 3.1.2.1.2

Mutltipliziere $10$ mit $0$ .

$f (0) = 0 - 13 {(0)}^{5}$

Schritt 3.1.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 - 13 \cdot 0$

Schritt 3.1.2.1.4

Mutltipliziere $- 13$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Schritt 3.1.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0$

Schritt 3.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0$ in $f (x) = 10 x^{6} - 13 x^{5}$ ermittelt werden kann, ist $(0, 0)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0, 0)$

Schritt 3.3

Ersetze $\frac{13}{15}$ in $f (x) = 10 x^{6} - 13 x^{5}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{13}{15}$ .

$f (\frac{13}{15}) = 10 {(\frac{13}{15})}^{6} - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{13}{15}$ an.

$f (\frac{13}{15}) = 10 (\frac{13^{6}}{15^{6}}) - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

Schritt 3.3.2.1.2

Potenziere $13$ mit $6$ .

$f (\frac{13}{15}) = 10 (\frac{4826809}{15^{6}}) - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

Schritt 3.3.2.1.3

Potenziere $15$ mit $6$ .

$f (\frac{13}{15}) = 10 (\frac{4826809}{11390625}) - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

Schritt 3.3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.3.2.1.4.1

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$f (\frac{13}{15}) = 5 (2) (\frac{4826809}{11390625}) - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

Schritt 3.3.2.1.4.2

Faktorisiere $5$ aus $11390625$ heraus.

$f (\frac{13}{15}) = 5 \cdot (2 (\frac{4826809}{5 \cdot 2278125})) - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

Schritt 3.3.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{13}{15}) = 5 \cdot (2 (\frac{4826809}{5 \cdot 2278125})) - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

Schritt 3.3.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{13}{15}) = 2 (\frac{4826809}{2278125}) - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

Schritt 3.3.2.1.5

Kombiniere $2$ und $\frac{4826809}{2278125}$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{2 \cdot 4826809}{2278125} - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

Schritt 3.3.2.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $4826809$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

Schritt 3.3.2.1.7

Wende die Produktregel auf $\frac{13}{15}$ an.

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} - 13 \frac{13^{5}}{15^{5}}$

Schritt 3.3.2.1.8

Potenziere $13$ mit $5$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} - 13 \frac{371293}{15^{5}}$

Schritt 3.3.2.1.9

Potenziere $15$ mit $5$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} - 13 (\frac{371293}{759375})$

Schritt 3.3.2.1.10

Multipliziere $- 13 (\frac{371293}{759375})$ .

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Schritt 3.3.2.1.10.1

Kombiniere $- 13$ und $\frac{371293}{759375}$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} + \frac{- 13 \cdot 371293}{759375}$

Schritt 3.3.2.1.10.2

Mutltipliziere $- 13$ mit $371293$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} + \frac{- 4826809}{759375}$

Schritt 3.3.2.1.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} - \frac{4826809}{759375}$

Schritt 3.3.2.2

Um $- \frac{4826809}{759375}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} - \frac{4826809}{759375} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 3.3.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $2278125$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.3.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{4826809}{759375}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} - \frac{4826809 \cdot 3}{759375 \cdot 3}$

Schritt 3.3.2.3.2

Mutltipliziere $759375$ mit $3$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} - \frac{4826809 \cdot 3}{2278125}$

Schritt 3.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618 - 4826809 \cdot 3}{2278125}$

Schritt 3.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.2.5.1

Mutltipliziere $- 4826809$ mit $3$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618 - 14480427}{2278125}$

Schritt 3.3.2.5.2

Subtrahiere $14480427$ von $9653618$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{- 4826809}{2278125}$

Schritt 3.3.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{13}{15}) = - \frac{4826809}{2278125}$

Schritt 3.3.2.7

Die endgültige Lösung ist $- \frac{4826809}{2278125}$ .

$- \frac{4826809}{2278125}$

Schritt 3.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $\frac{13}{15}$ in $f (x) = 10 x^{6} - 13 x^{5}$ ermittelt werden kann, ist $(\frac{13}{15}, - \frac{4826809}{2278125})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(\frac{13}{15}, - \frac{4826809}{2278125})$

Schritt 3.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(0, 0), (\frac{13}{15}, - \frac{4826809}{2278125})$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{13}{15}) \cup (\frac{13}{15}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = 300 {(- 0.1)}^{4} - 260 {(- 0.1)}^{3}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 0.1$ mit $4$ .

$f'' (- 0.1) = 300 \cdot 0.0001 - 260 {(- 0.1)}^{3}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $300$ mit $0.0001$ .

$f'' (- 0.1) = 0.03 - 260 {(- 0.1)}^{3}$

Schritt 5.2.1.3

Potenziere $- 0.1$ mit $3$ .

$f'' (- 0.1) = 0.03 - 260 \cdot - 0.001$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $- 260$ mit $- 0.001$ .

$f'' (- 0.1) = 0.03 + 0.26$

Schritt 5.2.2

Addiere $0.03$ und $0.26$ .

$f'' (- 0.1) = 0.29$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.29$ .

$0.29$

Schritt 5.3

Bei $- 0.1$ ist die zweite Ableitung $0.29$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, 0)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, 0)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \frac{13}{15})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.4\overline{3}$ .

$f'' (0.4\overline{3}) = 300 {(0.4\overline{3})}^{4} - 260 {(0.4\overline{3})}^{3}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $0.4\overline{3}$ mit $4$ .

$f'' (0.4\overline{3}) = 300 \cdot 0.03526049 - 260 {(0.4\overline{3})}^{3}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $300$ mit $0.03526049$ .

$f'' (0.4\overline{3}) = 10.57\overline{814} - 260 {(0.4\overline{3})}^{3}$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $0.4\overline{3}$ mit $3$ .

$f'' (0.4\overline{3}) = 10.57\overline{814} - 260 \cdot 0.081\overline{370}$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $- 260$ mit $0.081\overline{370}$ .

$f'' (0.4\overline{3}) = 10.57\overline{814} - 21.15629629$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $21.15629629$ von $10.57\overline{814}$ .

$f'' (0.4\overline{3}) = - 10.57814814$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 10.57814814$ .

$- 10.57814814$

Schritt 6.3

Bei $0.4\overline{3}$ , die zweite Ableitung ist $- 10.57814814$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(0, \frac{13}{15})$

Abfallend im Intervall $(0, \frac{13}{15})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{13}{15}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.9\overline{6}$ .

$f'' (0.9\overline{6}) = 300 {(0.9\overline{6})}^{4} - 260 {(0.9\overline{6})}^{3}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $0.9\overline{6}$ mit $4$ .

$f'' (0.9\overline{6}) = 300 \cdot 0.87318641 - 260 {(0.9\overline{6})}^{3}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $300$ mit $0.87318641$ .

$f'' (0.9\overline{6}) = 261.95592592 - 260 {(0.9\overline{6})}^{3}$

Schritt 7.2.1.3

Potenziere $0.9\overline{6}$ mit $3$ .

$f'' (0.9\overline{6}) = 261.95592592 - 260 \cdot 0.903\overline{296}$

Schritt 7.2.1.4

Mutltipliziere $- 260$ mit $0.903\overline{296}$ .

$f'' (0.9\overline{6}) = 261.95592592 - 234.85703703$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $234.85703703$ von $261.95592592$ .

$f'' (0.9\overline{6}) = 27.09888888$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $27.09888888$ .

$27.09888888$

Schritt 7.3

Bei $0.9\overline{6}$ ist die zweite Ableitung $27.09888888$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(\frac{13}{15}, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(\frac{13}{15}, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 0), (\frac{13}{15}, - \frac{4826809}{2278125})$ .

$(0, 0), (\frac{13}{15}, - \frac{4826809}{2278125})$

Schritt 9