Analysis Beispiele

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 7$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 4 x^{3} + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (7)$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (7)$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (7)$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (7)$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (7)$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.3.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 0$

Schritt 1.1.3.2

Addiere $4 x^{3} - 12 x^{2}$ und $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2}$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} - 12 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2}$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 (2 x)$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 12$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $12 x^{2} - 24 x$ .

$12 x^{2} - 24 x$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $12 x^{2} - 24 x = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$12 x^{2} - 24 x = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $12 x$ aus $12 x^{2} - 24 x$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $12 x$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$12 x (x) - 24 x = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $12 x$ aus $- 24 x$ heraus.

$12 x (x) + 12 x (- 2) = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $12 x$ aus $12 x (x) + 12 x (- 2)$ heraus.

$12 x (x - 2) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $12 x (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 2$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $0$ in $f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 7$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{3} + 7$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{3} + 7$

Schritt 3.1.2.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 + 7$

Schritt 3.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 7$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 3.1.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0 + 7$

Schritt 3.1.2.2.2

Addiere $0$ und $7$ .

$f (0) = 7$

Schritt 3.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $7$ .

$7$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0$ in $f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 7$ ermittelt werden kann, ist $(0, 7)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0, 7)$

Schritt 3.3

Ersetze $2$ in $f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 7$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = {(2)}^{4} - 4 {(2)}^{3} + 7$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.1

Potenziere $2$ mit $4$ .

$f (2) = 16 - 4 {(2)}^{3} + 7$

Schritt 3.3.2.1.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (2) = 16 - 4 \cdot 8 + 7$

Schritt 3.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$f (2) = 16 - 32 + 7$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.3.2.2.1

Subtrahiere $32$ von $16$ .

$f (2) = - 16 + 7$

Schritt 3.3.2.2.2

Addiere $- 16$ und $7$ .

$f (2) = - 9$

Schritt 3.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 9$ .

$- 9$

Schritt 3.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $2$ in $f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 7$ ermittelt werden kann, ist $(2, - 9)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(2, - 9)$

Schritt 3.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(0, 7), (2, - 9)$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = 12 {(- 0.1)}^{2} - 24 \cdot - 0.1$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 0.1$ mit $2$ .

$f'' (- 0.1) = 12 \cdot 0.01 - 24 \cdot - 0.1$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = 0.12 - 24 \cdot - 0.1$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $- 24$ mit $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = 0.12 + 2.4$

Schritt 5.2.2

Addiere $0.12$ und $2.4$ .

$f'' (- 0.1) = 2.52$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $2.52$ .

$2.52$

Schritt 5.3

Bei $- 0.1$ ist die zweite Ableitung $2.52$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, 0)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, 0)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, 2)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f'' (1) = 12 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f'' (1) = 12 \cdot 1 - 24 \cdot 1$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$f'' (1) = 12 - 24 \cdot 1$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $- 24$ mit $1$ .

$f'' (1) = 12 - 24$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $24$ von $12$ .

$f'' (1) = - 12$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 12$ .

$- 12$

Schritt 6.3

Bei $1$ , die zweite Ableitung ist $- 12$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(0, 2)$

Abfallend im Intervall $(0, 2)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(2, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2.1$ .

$f'' (2.1) = 12 {(2.1)}^{2} - 24 \cdot 2.1$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $2.1$ mit $2$ .

$f'' (2.1) = 12 \cdot 4.41 - 24 \cdot 2.1$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $4.41$ .

$f'' (2.1) = 52.92 - 24 \cdot 2.1$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $- 24$ mit $2.1$ .

$f'' (2.1) = 52.92 - 50.4$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $50.4$ von $52.92$ .

$f'' (2.1) = 2.52$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $2.52$ .

$2.52$

Schritt 7.3

Bei $2.1$ ist die zweite Ableitung $2.52$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(2, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(2, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 7), (2, - 9)$ .

$(0, 7), (2, - 9)$

Schritt 9