Analysis Beispiele

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3} + 6$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 2 x^{3} + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6)$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6)$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (6)$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6)$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (6)$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2} + 0$

Schritt 1.1.3.2

Addiere $4 x^{3} - 6 x^{2}$ und $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2}$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} - 6 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x^{2}$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 6 (2 x)$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 x$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $12 x^{2} - 12 x$ .

$12 x^{2} - 12 x$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $12 x^{2} - 12 x = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$12 x^{2} - 12 x = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $12 x$ aus $12 x^{2} - 12 x$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $12 x$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$12 x (x) - 12 x = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $12 x$ aus $- 12 x$ heraus.

$12 x (x) + 12 x (- 1) = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $12 x$ aus $12 x (x) + 12 x (- 1)$ heraus.

$12 x (x - 1) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $12 x (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 1$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $0$ in $f (x) = x^{4} - 2 x^{3} + 6$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = {(0)}^{4} - 2 {(0)}^{3} + 6$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 - 2 {(0)}^{3} + 6$

Schritt 3.1.2.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0 + 6$

Schritt 3.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 6$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 3.1.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0 + 6$

Schritt 3.1.2.2.2

Addiere $0$ und $6$ .

$f (0) = 6$

Schritt 3.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $6$ .

$6$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0$ in $f (x) = x^{4} - 2 x^{3} + 6$ ermittelt werden kann, ist $(0, 6)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0, 6)$

Schritt 3.3

Ersetze $1$ in $f (x) = x^{4} - 2 x^{3} + 6$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = {(1)}^{4} - 2 {(1)}^{3} + 6$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 1 - 2 {(1)}^{3} + 6$

Schritt 3.3.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 1 - 2 \cdot 1 + 6$

Schritt 3.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f (1) = 1 - 2 + 6$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.3.2.2.1

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f (1) = - 1 + 6$

Schritt 3.3.2.2.2

Addiere $- 1$ und $6$ .

$f (1) = 5$

Schritt 3.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $5$ .

$5$

Schritt 3.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $1$ in $f (x) = x^{4} - 2 x^{3} + 6$ ermittelt werden kann, ist $(1, 5)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(1, 5)$

Schritt 3.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(0, 6), (1, 5)$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = 12 {(- 0.1)}^{2} - 12 \cdot - 0.1$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 0.1$ mit $2$ .

$f'' (- 0.1) = 12 \cdot 0.01 - 12 \cdot - 0.1$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = 0.12 - 12 \cdot - 0.1$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = 0.12 + 1.2$

Schritt 5.2.2

Addiere $0.12$ und $1.2$ .

$f'' (- 0.1) = 1.32$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $1.32$ .

$1.32$

Schritt 5.3

Bei $- 0.1$ ist die zweite Ableitung $1.32$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, 0)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, 0)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, 1)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1}{2}$ .

$f'' (\frac{1}{2}) = 12 {(\frac{1}{2})}^{2} - 12 (\frac{1}{2})$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f'' (\frac{1}{2}) = 12 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 12 (\frac{1}{2})$

Schritt 6.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f'' (\frac{1}{2}) = 12 (\frac{1}{2^{2}}) - 12 (\frac{1}{2})$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f'' (\frac{1}{2}) = 12 (\frac{1}{4}) - 12 (\frac{1}{2})$

Schritt 6.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.2.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$f'' (\frac{1}{2}) = 4 (3) (\frac{1}{4}) - 12 (\frac{1}{2})$

Schritt 6.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (\frac{1}{2}) = 4 \cdot (3 (\frac{1}{4})) - 12 (\frac{1}{2})$

Schritt 6.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (\frac{1}{2}) = 3 - 12 (\frac{1}{2})$

Schritt 6.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 12$ heraus.

$f'' (\frac{1}{2}) = 3 + 2 (- 6) (\frac{1}{2})$

Schritt 6.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (\frac{1}{2}) = 3 + 2 \cdot (- 6 (\frac{1}{2}))$

Schritt 6.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (\frac{1}{2}) = 3 - 6$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $6$ von $3$ .

$f'' (\frac{1}{2}) = - 3$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 3$ .

$- 3$

Schritt 6.3

Bei $\frac{1}{2}$ , die zweite Ableitung ist $- 3$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(0, 1)$

Abfallend im Intervall $(0, 1)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(1, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.1$ .

$f'' (1.1) = 12 {(1.1)}^{2} - 12 \cdot 1.1$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $1.1$ mit $2$ .

$f'' (1.1) = 12 \cdot 1.21 - 12 \cdot 1.1$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $1.21$ .

$f'' (1.1) = 14.52 - 12 \cdot 1.1$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $1.1$ .

$f'' (1.1) = 14.52 - 13.2$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $13.2$ von $14.52$ .

$f'' (1.1) = 1.32$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $1.32$ .

$1.32$

Schritt 7.3

Bei $1.1$ ist die zweite Ableitung $1.32$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(1, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(1, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 6), (1, 5)$ .

$(0, 6), (1, 5)$

Schritt 9