Analysis Beispiele

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} + 9 x - 5$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} + 9 x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 8$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{2}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (9 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} (9 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

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Schritt 1.1.4.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x + 9 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x + 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5)$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x + 9 + \frac{d}{d x} (- 5)$

Schritt 1.1.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.5.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x + 9 + 0$

Schritt 1.1.5.2

Addiere $4 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x + 9$ und $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x + 9$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $- 24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 24 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 24$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Schritt 1.2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Schritt 1.2.4.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 12 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (9)$

Schritt 1.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (9)$

Schritt 1.2.4.3

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 12 + \frac{d}{d x} (9)$

Schritt 1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.2.5.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 12 + 0$

Schritt 1.2.5.2

Addiere $12 x^{2} - 48 x + 12$ und $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 12$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $12 x^{2} - 48 x + 12$ .

$12 x^{2} - 48 x + 12$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $12 x^{2} - 48 x + 12 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$12 x^{2} - 48 x + 12 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $12$ aus $12 x^{2} - 48 x + 12$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $12$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$12 (x^{2}) - 48 x + 12 = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $12$ aus $- 48 x$ heraus.

$12 (x^{2}) + 12 (- 4 x) + 12 = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $12$ aus $12$ heraus.

$12 (x^{2}) + 12 (- 4 x) + 12 (1) = 0$

Schritt 2.2.4

Faktorisiere $12$ aus $12 (x^{2}) + 12 (- 4 x)$ heraus.

$12 (x^{2} - 4 x) + 12 (1) = 0$

Schritt 2.2.5

Faktorisiere $12$ aus $12 (x^{2} - 4 x) + 12 (1)$ heraus.

$12 (x^{2} - 4 x + 1) = 0$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $12 (x^{2} - 4 x + 1) = 0$ durch $12$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $12 (x^{2} - 4 x + 1) = 0$ durch $12$ .

$\frac{12 (x^{2} - 4 x + 1)}{12} = \frac{0}{12}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 (x^{2} - 4 x + 1)}{12} = \frac{0}{12}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $x^{2} - 4 x + 1$ durch $1$ .

$x^{2} - 4 x + 1 = \frac{0}{12}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $12$ .

$x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Schritt 2.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 4$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.3

Subtrahiere $4$ von $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.4

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.6.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{3}$

Schritt 2.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 2.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.1.3

Subtrahiere $4$ von $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.1.4

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.7.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.7.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{3}$

Schritt 2.7.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 2 + \sqrt{3}$

Schritt 2.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.8.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 2.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.8.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.8.1.3

Subtrahiere $4$ von $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.8.1.4

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.8.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.8.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.8.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{3}$

Schritt 2.8.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 2 - \sqrt{3}$

Schritt 2.9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $2 + \sqrt{3}$ in $f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} + 9 x - 5$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2 + \sqrt{3}$ .

$f (2 + \sqrt{3}) = {(2 + \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f (2 + \sqrt{3}) = 2^{4} + 4 \cdot (2^{3} \sqrt{3}) + 6 \cdot (2^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (2 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.2.1

Potenziere $2$ mit $4$ .

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 4 \cdot (2^{3} \sqrt{3}) + 6 \cdot (2^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (2 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.2.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 4 \cdot (8 \sqrt{3}) + 6 \cdot (2^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (2 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 6 \cdot (2^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (2 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.2.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 6 \cdot (4 {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (2 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.2.5

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 24 {\sqrt{3}}^{2} + 4 \cdot (2 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.2.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.1.2.1.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 24 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (2 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 24 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (2 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 24 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (2 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.1.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 24 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (2 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 24 \cdot 3 + 4 \cdot (2 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 24 \cdot 3 + 4 \cdot (2 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.2.7

Mutltipliziere $24$ mit $3$ .

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 4 \cdot (2 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.2.8

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 8 {\sqrt{3}}^{3} + {\sqrt{3}}^{4} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.2.9

Schreibe ${\sqrt{3}}^{3}$ als $\sqrt{3^{3}}$ um.

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 8 \sqrt{3^{3}} + {\sqrt{3}}^{4} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.2.10

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 8 \sqrt{27} + {\sqrt{3}}^{4} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.2.11

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1.2.11.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 8 \sqrt{9 (3)} + {\sqrt{3}}^{4} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.2.11.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 8 \sqrt{3^{2} \cdot 3} + {\sqrt{3}}^{4} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.2.12

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 8 (3 \sqrt{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.2.13

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 24 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{4} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.2.14

Schreibe ${\sqrt{3}}^{4}$ als $3^{2}$ um.

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Schritt 3.1.2.1.2.14.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 24 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.2.14.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 24 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.2.14.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 24 \sqrt{3} + 3^{\frac{4}{2}} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.2.14.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 3.1.2.1.2.14.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 24 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.2.14.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.1.2.14.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 24 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.2.14.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 24 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.2.14.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 24 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{1}} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.2.14.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 24 \sqrt{3} + 3^{2} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.2.15

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 24 \sqrt{3} + 9 - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.3

Addiere $16$ und $72$ .

$f (2 + \sqrt{3}) = 88 + 32 \sqrt{3} + 24 \sqrt{3} + 9 - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.4

Addiere $88$ und $9$ .

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 32 \sqrt{3} + 24 \sqrt{3} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.5

Addiere $32 \sqrt{3}$ und $24 \sqrt{3}$ .

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.6

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 8 (2^{3} + 3 \cdot (2^{2} \sqrt{3}) + 3 \cdot (2 {\sqrt{3}}^{2}) + {\sqrt{3}}^{3}) + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.7.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 8 (8 + 3 \cdot (2^{2} \sqrt{3}) + 3 \cdot (2 {\sqrt{3}}^{2}) + {\sqrt{3}}^{3}) + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.7.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 8 (8 + 3 \cdot (4 \sqrt{3}) + 3 \cdot (2 {\sqrt{3}}^{2}) + {\sqrt{3}}^{3}) + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.7.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 8 (8 + 12 \sqrt{3} + 3 \cdot (2 {\sqrt{3}}^{2}) + {\sqrt{3}}^{3}) + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.7.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 8 (8 + 12 \sqrt{3} + 6 {\sqrt{3}}^{2} + {\sqrt{3}}^{3}) + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.7.5

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.1.2.1.7.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 8 (8 + 12 \sqrt{3} + 6 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{3}}^{3}) + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.7.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 8 (8 + 12 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{3}}^{3}) + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.7.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 8 (8 + 12 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{3}}^{3}) + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.7.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.1.7.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 8 (8 + 12 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{3}}^{3}) + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.7.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 8 (8 + 12 \sqrt{3} + 6 \cdot 3 + {\sqrt{3}}^{3}) + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.7.5.5

Berechne den Exponenten.

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 8 (8 + 12 \sqrt{3} + 6 \cdot 3 + {\sqrt{3}}^{3}) + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.7.6

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 8 (8 + 12 \sqrt{3} + 18 + {\sqrt{3}}^{3}) + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.7.7

Schreibe ${\sqrt{3}}^{3}$ als $\sqrt{3^{3}}$ um.

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 8 (8 + 12 \sqrt{3} + 18 + \sqrt{3^{3}}) + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.7.8

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 8 (8 + 12 \sqrt{3} + 18 + \sqrt{27}) + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.7.9

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 3.1.2.1.7.9.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 8 (8 + 12 \sqrt{3} + 18 + \sqrt{9 (3)}) + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.7.9.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 8 (8 + 12 \sqrt{3} + 18 + \sqrt{3^{2} \cdot 3}) + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.7.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 8 (8 + 12 \sqrt{3} + 18 + 3 \sqrt{3}) + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.8

Addiere $8$ und $18$ .

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 8 (26 + 12 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}) + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.9

Addiere $12 \sqrt{3}$ und $3 \sqrt{3}$ .

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 8 (26 + 15 \sqrt{3}) + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.10

Wende das Distributivgesetz an.

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 8 \cdot 26 - 8 (15 \sqrt{3}) + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.11

Mutltipliziere $- 8$ mit $26$ .

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 208 - 8 (15 \sqrt{3}) + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.12

Mutltipliziere $15$ mit $- 8$ .

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 208 - 120 \sqrt{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.13

Schreibe ${(2 + \sqrt{3})}^{2}$ als $(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ um.

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 208 - 120 \sqrt{3} + 6 ((2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})) + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.14

Multipliziere $(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1.2.1.14.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 208 - 120 \sqrt{3} + 6 (2 (2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})) + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.14.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 208 - 120 \sqrt{3} + 6 (2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})) + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.14.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 208 - 120 \sqrt{3} + 6 (2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.15

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1.2.1.15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.15.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 208 - 120 \sqrt{3} + 6 (4 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.15.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 208 - 120 \sqrt{3} + 6 (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.15.1.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 208 - 120 \sqrt{3} + 6 (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}) + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.15.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 208 - 120 \sqrt{3} + 6 (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}) + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.15.1.5

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 208 - 120 \sqrt{3} + 6 (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}) + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.15.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 208 - 120 \sqrt{3} + 6 (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3) + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.15.2

Addiere $4$ und $3$ .

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 208 - 120 \sqrt{3} + 6 (7 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}) + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.15.3

Addiere $2 \sqrt{3}$ und $2 \sqrt{3}$ .

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 208 - 120 \sqrt{3} + 6 (7 + 4 \sqrt{3}) + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.16

Wende das Distributivgesetz an.

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 208 - 120 \sqrt{3} + 6 \cdot 7 + 6 (4 \sqrt{3}) + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.17

Mutltipliziere $6$ mit $7$ .

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 208 - 120 \sqrt{3} + 42 + 6 (4 \sqrt{3}) + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.18

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 208 - 120 \sqrt{3} + 42 + 24 \sqrt{3} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.1.2.1.19

Wende das Distributivgesetz an.

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 208 - 120 \sqrt{3} + 42 + 24 \sqrt{3} + 9 \cdot 2 + 9 \sqrt{3} - 5$

Schritt 3.1.2.1.20

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 208 - 120 \sqrt{3} + 42 + 24 \sqrt{3} + 18 + 9 \sqrt{3} - 5$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.1.2.2.1

Subtrahiere $208$ von $97$ .

$f (2 + \sqrt{3}) = - 111 + 56 \sqrt{3} - 120 \sqrt{3} + 42 + 24 \sqrt{3} + 18 + 9 \sqrt{3} - 5$

Schritt 3.1.2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.1.2.2.2.1

Addiere $- 111$ und $42$ .

$f (2 + \sqrt{3}) = - 69 + 56 \sqrt{3} - 120 \sqrt{3} + 24 \sqrt{3} + 18 + 9 \sqrt{3} - 5$

Schritt 3.1.2.2.2.2

Addiere $- 69$ und $18$ .

$f (2 + \sqrt{3}) = - 51 + 56 \sqrt{3} - 120 \sqrt{3} + 24 \sqrt{3} + 9 \sqrt{3} - 5$

Schritt 3.1.2.2.2.3

Subtrahiere $5$ von $- 51$ .

$f (2 + \sqrt{3}) = - 56 + 56 \sqrt{3} - 120 \sqrt{3} + 24 \sqrt{3} + 9 \sqrt{3}$

Schritt 3.1.2.2.3

Subtrahiere $120 \sqrt{3}$ von $56 \sqrt{3}$ .

$f (2 + \sqrt{3}) = - 56 - 64 \sqrt{3} + 24 \sqrt{3} + 9 \sqrt{3}$

Schritt 3.1.2.2.4

Addiere $- 64 \sqrt{3}$ und $24 \sqrt{3}$ .

$f (2 + \sqrt{3}) = - 56 - 40 \sqrt{3} + 9 \sqrt{3}$

Schritt 3.1.2.2.5

Addiere $- 40 \sqrt{3}$ und $9 \sqrt{3}$ .

$f (2 + \sqrt{3}) = - 56 - 31 \sqrt{3}$

Schritt 3.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 56 - 31 \sqrt{3}$ .

$- 56 - 31 \sqrt{3}$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $2 + \sqrt{3}$ in $f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} + 9 x - 5$ ermittelt werden kann, ist $(2 + \sqrt{3}, - 56 - 31 \sqrt{3})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(2 + \sqrt{3}, - 56 - 31 \sqrt{3})$

Schritt 3.3

Ersetze $2 - \sqrt{3}$ in $f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} + 9 x - 5$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2 - \sqrt{3}$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = {(2 - \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f (2 - \sqrt{3}) = 2^{4} + 4 \cdot (2^{3} (- \sqrt{3})) + 6 \cdot (2^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.2.1

Potenziere $2$ mit $4$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 + 4 \cdot (2^{3} (- \sqrt{3})) + 6 \cdot (2^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.2.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 + 4 \cdot (8 (- \sqrt{3})) + 6 \cdot (2^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 + 32 (- \sqrt{3}) + 6 \cdot (2^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $32$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 6 \cdot (2^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.2.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 6 \cdot (4 {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.2.6

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 24 {(- \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot (2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.2.7

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{3}$ an.

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 24 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.2.8

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 24 (1 {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.2.9

Mutltipliziere ${\sqrt{3}}^{2}$ mit $1$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 24 {\sqrt{3}}^{2} + 4 \cdot (2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.2.10

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.3.2.1.2.10.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 24 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.2.10.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 24 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.2.10.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 24 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.2.10.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.2.10.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 24 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.2.10.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 24 \cdot 3 + 4 \cdot (2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.2.10.5

Berechne den Exponenten.

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 24 \cdot 3 + 4 \cdot (2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.2.11

Mutltipliziere $24$ mit $3$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 72 + 4 \cdot (2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.2.12

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 72 + 8 {(- \sqrt{3})}^{3} + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.2.13

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{3}$ an.

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 72 + 8 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.2.14

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 72 + 8 (- {\sqrt{3}}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.2.15

Schreibe ${\sqrt{3}}^{3}$ als $\sqrt{3^{3}}$ um.

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 72 + 8 (- \sqrt{3^{3}}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.2.16

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 72 + 8 (- \sqrt{27}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.2.17

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 3.3.2.1.2.17.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 72 + 8 (- \sqrt{9 (3)}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.2.17.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 72 + 8 (- \sqrt{3^{2} \cdot 3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.2.18

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 72 + 8 (- (3 \sqrt{3})) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.2.19

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 72 + 8 (- 3 \sqrt{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.2.20

Mutltipliziere $- 3$ mit $8$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 24 \sqrt{3} + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.2.21

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{3}$ an.

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 24 \sqrt{3} + {(- 1)}^{4} {\sqrt{3}}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.2.22

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 24 \sqrt{3} + 1 {\sqrt{3}}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.2.23

Mutltipliziere ${\sqrt{3}}^{4}$ mit $1$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 24 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.2.24

Schreibe ${\sqrt{3}}^{4}$ als $3^{2}$ um.

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Schritt 3.3.2.1.2.24.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 24 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.2.24.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 24 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.2.24.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 24 \sqrt{3} + 3^{\frac{4}{2}} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.2.24.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.2.24.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 24 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.2.24.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.1.2.24.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 24 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.2.24.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 24 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.2.24.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 24 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{1}} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.2.24.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 24 \sqrt{3} + 3^{2} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.2.25

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 24 \sqrt{3} + 9 - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.3

Addiere $16$ und $72$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 88 - 32 \sqrt{3} - 24 \sqrt{3} + 9 - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.4

Addiere $88$ und $9$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 32 \sqrt{3} - 24 \sqrt{3} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.5

Subtrahiere $24 \sqrt{3}$ von $- 32 \sqrt{3}$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.6

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (2^{3} + 3 \cdot (2^{2} (- \sqrt{3})) + 3 \cdot (2 {(- \sqrt{3})}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.7.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (8 + 3 \cdot (2^{2} (- \sqrt{3})) + 3 \cdot (2 {(- \sqrt{3})}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.7.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (8 + 3 \cdot (4 (- \sqrt{3})) + 3 \cdot (2 {(- \sqrt{3})}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.7.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (8 + 12 (- \sqrt{3}) + 3 \cdot (2 {(- \sqrt{3})}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.7.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (8 - 12 \sqrt{3} + 3 \cdot (2 {(- \sqrt{3})}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.7.5

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (8 - 12 \sqrt{3} + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.7.6

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{3}$ an.

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (8 - 12 \sqrt{3} + 6 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.7.7

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (8 - 12 \sqrt{3} + 6 (1 {\sqrt{3}}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.7.8

Mutltipliziere ${\sqrt{3}}^{2}$ mit $1$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (8 - 12 \sqrt{3} + 6 {\sqrt{3}}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.7.9

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.3.2.1.7.9.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (8 - 12 \sqrt{3} + 6 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.7.9.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (8 - 12 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.7.9.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (8 - 12 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.7.9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.7.9.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (8 - 12 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.7.9.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (8 - 12 \sqrt{3} + 6 \cdot 3 + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.7.9.5

Berechne den Exponenten.

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (8 - 12 \sqrt{3} + 6 \cdot 3 + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.7.10

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (8 - 12 \sqrt{3} + 18 + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.7.11

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{3}$ an.

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (8 - 12 \sqrt{3} + 18 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.7.12

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (8 - 12 \sqrt{3} + 18 - {\sqrt{3}}^{3}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.7.13

Schreibe ${\sqrt{3}}^{3}$ als $\sqrt{3^{3}}$ um.

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (8 - 12 \sqrt{3} + 18 - \sqrt{3^{3}}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.7.14

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (8 - 12 \sqrt{3} + 18 - \sqrt{27}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.7.15

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.7.15.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (8 - 12 \sqrt{3} + 18 - \sqrt{9 (3)}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.7.15.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (8 - 12 \sqrt{3} + 18 - \sqrt{3^{2} \cdot 3}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.7.16

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (8 - 12 \sqrt{3} + 18 - (3 \sqrt{3})) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.7.17

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (8 - 12 \sqrt{3} + 18 - 3 \sqrt{3}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.8

Addiere $8$ und $18$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (26 - 12 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.9

Subtrahiere $3 \sqrt{3}$ von $- 12 \sqrt{3}$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (26 - 15 \sqrt{3}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.10

Wende das Distributivgesetz an.

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 \cdot 26 - 8 (- 15 \sqrt{3}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.11

Mutltipliziere $- 8$ mit $26$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 - 8 (- 15 \sqrt{3}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.12

Mutltipliziere $- 15$ mit $- 8$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.13

Schreibe ${(2 - \sqrt{3})}^{2}$ als $(2 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})$ um.

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 6 ((2 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})) + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.14

Multipliziere $(2 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.14.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 6 (2 (2 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (2 - \sqrt{3})) + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.14.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 6 (2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (2 - \sqrt{3})) + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.14.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 6 (2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.15

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.2.1.15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.15.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 6 (4 + 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.15.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 6 (4 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.15.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 6 (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.15.1.4

Multipliziere $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Schritt 3.3.2.1.15.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 6 (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}) + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.15.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 6 (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.15.1.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 6 (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.15.1.4.4

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 6 (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.15.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 6 (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}) + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.15.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 6 (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}) + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.15.1.5

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.3.2.1.15.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 6 (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.15.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 6 (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.15.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 6 (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}) + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.15.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.15.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 6 (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}) + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.15.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 6 (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3) + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.15.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 6 (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3) + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.15.2

Addiere $4$ und $3$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 6 (7 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}) + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.15.3

Subtrahiere $2 \sqrt{3}$ von $- 2 \sqrt{3}$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 6 (7 - 4 \sqrt{3}) + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.16

Wende das Distributivgesetz an.

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 6 \cdot 7 + 6 (- 4 \sqrt{3}) + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.17

Mutltipliziere $6$ mit $7$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 42 + 6 (- 4 \sqrt{3}) + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.18

Mutltipliziere $- 4$ mit $6$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 42 - 24 \sqrt{3} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.19

Wende das Distributivgesetz an.

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 42 - 24 \sqrt{3} + 9 \cdot 2 + 9 (- \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.20

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 42 - 24 \sqrt{3} + 18 + 9 (- \sqrt{3}) - 5$

Schritt 3.3.2.1.21

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 42 - 24 \sqrt{3} + 18 - 9 \sqrt{3} - 5$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.3.2.2.1

Subtrahiere $208$ von $97$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = - 111 - 56 \sqrt{3} + 120 \sqrt{3} + 42 - 24 \sqrt{3} + 18 - 9 \sqrt{3} - 5$

Schritt 3.3.2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.2.1

Addiere $- 111$ und $42$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = - 69 - 56 \sqrt{3} + 120 \sqrt{3} - 24 \sqrt{3} + 18 - 9 \sqrt{3} - 5$

Schritt 3.3.2.2.2.2

Addiere $- 69$ und $18$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = - 51 - 56 \sqrt{3} + 120 \sqrt{3} - 24 \sqrt{3} - 9 \sqrt{3} - 5$

Schritt 3.3.2.2.2.3

Subtrahiere $5$ von $- 51$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = - 56 - 56 \sqrt{3} + 120 \sqrt{3} - 24 \sqrt{3} - 9 \sqrt{3}$

Schritt 3.3.2.2.3

Addiere $- 56 \sqrt{3}$ und $120 \sqrt{3}$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = - 56 + 64 \sqrt{3} - 24 \sqrt{3} - 9 \sqrt{3}$

Schritt 3.3.2.2.4

Subtrahiere $24 \sqrt{3}$ von $64 \sqrt{3}$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = - 56 + 40 \sqrt{3} - 9 \sqrt{3}$

Schritt 3.3.2.2.5

Subtrahiere $9 \sqrt{3}$ von $40 \sqrt{3}$ .

$f (2 - \sqrt{3}) = - 56 + 31 \sqrt{3}$

Schritt 3.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 56 + 31 \sqrt{3}$ .

$- 56 + 31 \sqrt{3}$

Schritt 3.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $2 - \sqrt{3}$ in $f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} + 9 x - 5$ ermittelt werden kann, ist $(2 - \sqrt{3}, - 56 + 31 \sqrt{3})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(2 - \sqrt{3}, - 56 + 31 \sqrt{3})$

Schritt 3.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(2 + \sqrt{3}, - 56 - 31 \sqrt{3}), (2 - \sqrt{3}, - 56 + 31 \sqrt{3})$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, 2 - \sqrt{3}) \cup (2 - \sqrt{3}, 2 + \sqrt{3}) \cup (2 + \sqrt{3}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 2 - \sqrt{3})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.16794919$ .

$f'' (0.16794919) = 12 {(0.16794919)}^{2} - 48 \cdot 0.16794919 + 12$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $0.16794919$ mit $2$ .

$f'' (0.16794919) = 12 \cdot 0.02820693 - 48 \cdot 0.16794919 + 12$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $0.02820693$ .

$f'' (0.16794919) = 0.33848317 - 48 \cdot 0.16794919 + 12$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $- 48$ mit $0.16794919$ .

$f'' (0.16794919) = 0.33848317 - 8.06156123 + 12$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $8.06156123$ von $0.33848317$ .

$f'' (0.16794919) = - 7.72307806 + 12$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $- 7.72307806$ und $12$ .

$f'' (0.16794919) = 4.27692193$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $4.27692193$ .

$4.27692193$

Schritt 5.3

Bei $0.16794919$ ist die zweite Ableitung $4.27692193$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, 2 - \sqrt{3})$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, 2 - \sqrt{3})$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(2 - \sqrt{3}, 2 + \sqrt{3})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f'' (2) = 12 {(2)}^{2} - 48 \cdot 2 + 12$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f'' (2) = 12 \cdot 4 - 48 \cdot 2 + 12$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $4$ .

$f'' (2) = 48 - 48 \cdot 2 + 12$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $- 48$ mit $2$ .

$f'' (2) = 48 - 96 + 12$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $96$ von $48$ .

$f'' (2) = - 48 + 12$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $- 48$ und $12$ .

$f'' (2) = - 36$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 36$ .

$- 36$

Schritt 6.3

Bei $2$ , die zweite Ableitung ist $- 36$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(2 - \sqrt{3}, 2 + \sqrt{3})$

Abfallend im Intervall $(2 - \sqrt{3}, 2 + \sqrt{3})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(2 + \sqrt{3}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3.8320508$ .

$f'' (3.8320508) = 12 {(3.8320508)}^{2} - 48 \cdot 3.8320508 + 12$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $3.8320508$ mit $2$ .

$f'' (3.8320508) = 12 \cdot 14.68461339 - 48 \cdot 3.8320508 + 12$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $14.68461339$ .

$f'' (3.8320508) = 176.2153607 - 48 \cdot 3.8320508 + 12$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $- 48$ mit $3.8320508$ .

$f'' (3.8320508) = 176.2153607 - 183.93843876 + 12$

Schritt 7.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 7.2.2.1

Subtrahiere $183.93843876$ von $176.2153607$ .

$f'' (3.8320508) = - 7.72307806 + 12$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $- 7.72307806$ und $12$ .

$f'' (3.8320508) = 4.27692193$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $4.27692193$ .

$4.27692193$

Schritt 7.3

Bei $3.8320508$ ist die zweite Ableitung $4.27692193$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(2 + \sqrt{3}, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(2 + \sqrt{3}, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(2 - \sqrt{3}, - 56 + 31 \sqrt{3}), (2 + \sqrt{3}, - 56 - 31 \sqrt{3})$ .

$(2 - \sqrt{3}, - 56 + 31 \sqrt{3}), (2 + \sqrt{3}, - 56 - 31 \sqrt{3})$

Schritt 9