Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x {(x + 4)}^{3}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x {(x + 4)}^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x {(x + 4)}^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x {(x + 4)}^{3})$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x + 4)}^{3}$ .

$f' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{3}) + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x + 4$ .

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Schritt 1.1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 4$ .

$f' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x + 4)) + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x + 4)) + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 1.1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 4$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 4)) + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 1.1.4

Differenziere.

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Schritt 1.1.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x + 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4))) + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x + 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (4))) + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 1.1.4.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x + 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 1.1.4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.4.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x + 4)}^{2} \cdot 1) + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 1.1.4.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x + 4)}^{2}) + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 1.1.4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x + 4)}^{2}) + {(x + 4)}^{3} \cdot 1)$

Schritt 1.1.4.6

Mutltipliziere ${(x + 4)}^{3}$ mit $1$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x + 4)}^{2}) + {(x + 4)}^{3})$

Schritt 1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = 2 (x (3 {(x + 4)}^{2})) + 2 {(x + 4)}^{3}$

Schritt 1.1.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f' (x) = 6 (x ({(x + 4)}^{2})) + 2 {(x + 4)}^{3}$

Schritt 1.1.5.3

Faktorisiere $2 {(x + 4)}^{2}$ aus $6 x {(x + 4)}^{2} + 2 {(x + 4)}^{3}$ heraus.

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Schritt 1.1.5.3.1

Faktorisiere $2 {(x + 4)}^{2}$ aus $6 x {(x + 4)}^{2}$ heraus.

$f' (x) = 2 {(x + 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x + 4)}^{3}$

Schritt 1.1.5.3.2

Faktorisiere $2 {(x + 4)}^{2}$ aus $2 {(x + 4)}^{3}$ heraus.

$f' (x) = 2 {(x + 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x + 4)}^{2} (x + 4)$

Schritt 1.1.5.3.3

Faktorisiere $2 {(x + 4)}^{2}$ aus $2 {(x + 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x + 4)}^{2} (x + 4)$ heraus.

$f' (x) = 2 {(x + 4)}^{2} (3 x + x + 4)$

Schritt 1.1.5.4

Addiere $3 x$ und $x$ .

$f' (x) = 2 {(x + 4)}^{2} (4 x + 4)$

Schritt 1.1.5.5

Schreibe ${(x + 4)}^{2}$ als $(x + 4) (x + 4)$ um.

$f' (x) = 2 ((x + 4) (x + 4)) (4 x + 4)$

Schritt 1.1.5.6

Multipliziere $(x + 4) (x + 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.5.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = 2 (x (x + 4) + 4 (x + 4)) (4 x + 4)$

Schritt 1.1.5.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = 2 (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4)) (4 x + 4)$

Schritt 1.1.5.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = 2 (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) (4 x + 4)$

Schritt 1.1.5.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.5.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.5.7.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) (4 x + 4)$

Schritt 1.1.5.7.1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4) (4 x + 4)$

Schritt 1.1.5.7.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} + 4 x + 4 x + 16) (4 x + 4)$

Schritt 1.1.5.7.2

Addiere $4 x$ und $4 x$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} + 8 x + 16) (4 x + 4)$

Schritt 1.1.5.8

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = (2 x^{2} + 2 (8 x) + 2 \cdot 16) (4 x + 4)$

Schritt 1.1.5.9

Vereinfache.

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Schritt 1.1.5.9.1

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$f' (x) = (2 x^{2} + 16 x + 2 \cdot 16) (4 x + 4)$

Schritt 1.1.5.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$f' (x) = (2 x^{2} + 16 x + 32) (4 x + 4)$

Schritt 1.1.5.10

Multipliziere $(2 x^{2} + 16 x + 32) (4 x + 4)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$f' (x) = 2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot 4 + 16 x (4 x) + 16 x \cdot 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot 4$

Schritt 1.1.5.11

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.5.11.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f' (x) = 2 \cdot (4 x^{2} x) + 2 x^{2} \cdot 4 + 16 x (4 x) + 16 x \cdot 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot 4$

Schritt 1.1.5.11.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.5.11.2.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = 2 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} \cdot 4 + 16 x (4 x) + 16 x \cdot 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot 4$

Schritt 1.1.5.11.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.5.11.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = 2 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} \cdot 4 + 16 x (4 x) + 16 x \cdot 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot 4$

Schritt 1.1.5.11.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = 2 \cdot (4 x^{1 + 2}) + 2 x^{2} \cdot 4 + 16 x (4 x) + 16 x \cdot 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot 4$

Schritt 1.1.5.11.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (x) = 2 \cdot (4 x^{3}) + 2 x^{2} \cdot 4 + 16 x (4 x) + 16 x \cdot 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot 4$

Schritt 1.1.5.11.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + 2 x^{2} \cdot 4 + 16 x (4 x) + 16 x \cdot 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot 4$

Schritt 1.1.5.11.4

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + 8 x^{2} + 16 x (4 x) + 16 x \cdot 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot 4$

Schritt 1.1.5.11.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f' (x) = 8 x^{3} + 8 x^{2} + 16 \cdot (4 x \cdot x) + 16 x \cdot 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot 4$

Schritt 1.1.5.11.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.5.11.6.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + 8 x^{2} + 16 \cdot (4 (x \cdot x)) + 16 x \cdot 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot 4$

Schritt 1.1.5.11.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + 8 x^{2} + 16 \cdot (4 x^{2}) + 16 x \cdot 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot 4$

Schritt 1.1.5.11.7

Mutltipliziere $16$ mit $4$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + 8 x^{2} + 64 x^{2} + 16 x \cdot 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot 4$

Schritt 1.1.5.11.8

Mutltipliziere $4$ mit $16$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + 8 x^{2} + 64 x^{2} + 64 x + 32 (4 x) + 32 \cdot 4$

Schritt 1.1.5.11.9

Mutltipliziere $4$ mit $32$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + 8 x^{2} + 64 x^{2} + 64 x + 128 x + 32 \cdot 4$

Schritt 1.1.5.11.10

Mutltipliziere $32$ mit $4$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + 8 x^{2} + 64 x^{2} + 64 x + 128 x + 128$

Schritt 1.1.5.12

Addiere $8 x^{2}$ und $64 x^{2}$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + 72 x^{2} + 64 x + 128 x + 128$

Schritt 1.1.5.13

Addiere $64 x$ und $128 x$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + 72 x^{2} + 192 x + 128$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 x^{3} + 72 x^{2} + 192 x + 128$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [72 x^{2}] + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [128]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (128)$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x^{3}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (128)$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (128)$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (128)$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [72 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $72$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $72 x^{2}$ nach $x$ gleich $72 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} + 72 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (128)$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} + 72 (2 x) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (128)$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $72$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} + 144 x + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (128)$

Schritt 1.2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [192 x]$ .

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Schritt 1.2.4.1

Da $192$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $192 x$ nach $x$ gleich $192 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} + 144 x + 192 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (128)$

Schritt 1.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} + 144 x + 192 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (128)$

Schritt 1.2.4.3

Mutltipliziere $192$ mit $1$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} + 144 x + 192 + \frac{d}{d x} (128)$

Schritt 1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.2.5.1

Da $128$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $128$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} + 144 x + 192 + 0$

Schritt 1.2.5.2

Addiere $24 x^{2} + 144 x + 192$ und $0$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} + 144 x + 192$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $24 x^{2} + 144 x + 192$ .

$24 x^{2} + 144 x + 192$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $24 x^{2} + 144 x + 192 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$24 x^{2} + 144 x + 192 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $24$ aus $24 x^{2} + 144 x + 192$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $24$ aus $24 x^{2}$ heraus.

$24 (x^{2}) + 144 x + 192 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $24$ aus $144 x$ heraus.

$24 (x^{2}) + 24 (6 x) + 192 = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $24$ aus $192$ heraus.

$24 x^{2} + 24 (6 x) + 24 \cdot 8 = 0$

Schritt 2.2.1.4

Faktorisiere $24$ aus $24 x^{2} + 24 (6 x)$ heraus.

$24 (x^{2} + 6 x) + 24 \cdot 8 = 0$

Schritt 2.2.1.5

Faktorisiere $24$ aus $24 (x^{2} + 6 x) + 24 \cdot 8$ heraus.

$24 (x^{2} + 6 x + 8) = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 6 x + 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $8$ und deren Summe $6$ ist.

$2, 4$

Schritt 2.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$24 ((x + 2) (x + 4)) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$24 (x + 2) (x + 4) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 4 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 2.5

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $24 (x + 2) (x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = - 2, - 4$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $- 2$ in $f (x) = 2 x {(x + 4)}^{3}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = 2 (- 2) {((- 2) + 4)}^{3}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f (- 2) = - 4 {((- 2) + 4)}^{3}$

Schritt 3.1.2.2

Addiere $- 2$ und $4$ .

$f (- 2) = - 4 \cdot 2^{3}$

Schritt 3.1.2.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (- 2) = - 4 \cdot 8$

Schritt 3.1.2.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$f (- 2) = - 32$

Schritt 3.1.2.5

Die endgültige Lösung ist $- 32$ .

$- 32$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 2$ in $f (x) = 2 x {(x + 4)}^{3}$ ermittelt werden kann, ist $(- 2, - 32)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 2, - 32)$

Schritt 3.3

Ersetze $- 4$ in $f (x) = 2 x {(x + 4)}^{3}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f (- 4) = 2 (- 4) {((- 4) + 4)}^{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$f (- 4) = - 8 {((- 4) + 4)}^{3}$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $- 4$ und $4$ .

$f (- 4) = - 8 \cdot 0^{3}$

Schritt 3.3.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (- 4) = - 8 \cdot 0$

Schritt 3.3.2.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $0$ .

$f (- 4) = 0$

Schritt 3.3.2.5

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 3.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 4$ in $f (x) = 2 x {(x + 4)}^{3}$ ermittelt werden kann, ist $(- 4, 0)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 4, 0)$

Schritt 3.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(- 2, - 32), (- 4, 0)$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 4)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4.1$ .

$f'' (- 4.1) = 24 {(- 4.1)}^{2} + 144 (- 4.1) + 192$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 4.1$ mit $2$ .

$f'' (- 4.1) = 24 \cdot 16.81 + 144 (- 4.1) + 192$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $24$ mit $16.81$ .

$f'' (- 4.1) = 403.44 + 144 (- 4.1) + 192$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $144$ mit $- 4.1$ .

$f'' (- 4.1) = 403.44 - 590.4 + 192$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $590.4$ von $403.44$ .

$f'' (- 4.1) = - 186.96 + 192$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $- 186.96$ und $192$ .

$f'' (- 4.1) = 5.04$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $5.04$ .

$5.04$

Schritt 5.3

Bei $- 4.1$ ist die zweite Ableitung $5.04$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, - 4)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 4)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 4, - 2)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f'' (- 3) = 24 {(- 3)}^{2} + 144 (- 3) + 192$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f'' (- 3) = 24 \cdot 9 + 144 (- 3) + 192$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $24$ mit $9$ .

$f'' (- 3) = 216 + 144 (- 3) + 192$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $144$ mit $- 3$ .

$f'' (- 3) = 216 - 432 + 192$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $432$ von $216$ .

$f'' (- 3) = - 216 + 192$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $- 216$ und $192$ .

$f'' (- 3) = - 24$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 24$ .

$- 24$

Schritt 6.3

Bei $- 3$ , die zweite Ableitung ist $- 24$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- 4, - 2)$

Abfallend im Intervall $(- 4, - 2)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 2, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.9$ .

$f'' (- 1.9) = 24 {(- 1.9)}^{2} + 144 (- 1.9) + 192$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $- 1.9$ mit $2$ .

$f'' (- 1.9) = 24 \cdot 3.61 + 144 (- 1.9) + 192$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $24$ mit $3.61$ .

$f'' (- 1.9) = 86.64 + 144 (- 1.9) + 192$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $144$ mit $- 1.9$ .

$f'' (- 1.9) = 86.64 - 273.6 + 192$

Schritt 7.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 7.2.2.1

Subtrahiere $273.6$ von $86.64$ .

$f'' (- 1.9) = - 186.96 + 192$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $- 186.96$ und $192$ .

$f'' (- 1.9) = 5.04$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $5.04$ .

$5.04$

Schritt 7.3

Bei $- 1.9$ ist die zweite Ableitung $5.04$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- 2, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(- 2, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 4, 0), (- 2, - 32)$ .

$(- 4, 0), (- 2, - 32)$

Schritt 9