Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x^{3} - 15 x^{2} + 24 x$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{3} - 15 x^{2} + 24 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x)$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x)$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x)$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x)$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 15$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 15 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 15 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x)$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 15 (2 x) + \frac{d}{d x} (24 x)$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 15$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 30 x + \frac{d}{d x} (24 x)$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

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Schritt 1.1.4.1

Da $24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $24 x$ nach $x$ gleich $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 30 x + 24 \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 30 x + 24 \cdot 1$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $24$ mit $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 30 x + 24$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x^{2} - 30 x + 24$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [24]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 30 x) + \frac{d}{d x} (24)$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{2}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 30 x) + \frac{d}{d x} (24)$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 30 x) + \frac{d}{d x} (24)$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (- 30 x) + \frac{d}{d x} (24)$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 30 x]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $- 30$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 30 x$ nach $x$ gleich $- 30 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x - 30 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (24)$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x - 30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (24)$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $- 30$ mit $1$ .

$f'' (x) = 12 x - 30 + \frac{d}{d x} (24)$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.2.4.1

Da $24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $24$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 12 x - 30 + 0$

Schritt 1.2.4.2

Addiere $12 x - 30$ und $0$ .

$f'' (x) = 12 x - 30$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $12 x - 30$ .

$12 x - 30$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $12 x - 30 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$12 x - 30 = 0$

Schritt 2.2

Addiere $30$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$12 x = 30$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $12 x = 30$ durch $12$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $12 x = 30$ durch $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{30}{12}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 x}{12} = \frac{30}{12}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{30}{12}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $30$ und $12$ .

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Schritt 2.3.3.1.1

Faktorisiere $6$ aus $30$ heraus.

$x = \frac{6 (5)}{12}$

Schritt 2.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.1.2.1

Faktorisiere $6$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{6 \cdot 5}{6 \cdot 2}$

Schritt 2.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{6 \cdot 5}{6 \cdot 2}$

Schritt 2.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{5}{2}$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $\frac{5}{2}$ in $f (x) = 2 x^{3} - 15 x^{2} + 24 x$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{5}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = 2 {(\frac{5}{2})}^{3} - 15 {(\frac{5}{2})}^{2} + 24 (\frac{5}{2})$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$f (\frac{5}{2}) = 2 (\frac{5^{3}}{2^{3}}) - 15 {(\frac{5}{2})}^{2} + 24 (\frac{5}{2})$

Schritt 3.1.2.1.2

Potenziere $5$ mit $3$ .

$f (\frac{5}{2}) = 2 (\frac{125}{2^{3}}) - 15 {(\frac{5}{2})}^{2} + 24 (\frac{5}{2})$

Schritt 3.1.2.1.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (\frac{5}{2}) = 2 (\frac{125}{8}) - 15 {(\frac{5}{2})}^{2} + 24 (\frac{5}{2})$

Schritt 3.1.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$f (\frac{5}{2}) = 2 (\frac{125}{2 (4)}) - 15 {(\frac{5}{2})}^{2} + 24 (\frac{5}{2})$

Schritt 3.1.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5}{2}) = 2 (\frac{125}{2 \cdot 4}) - 15 {(\frac{5}{2})}^{2} + 24 (\frac{5}{2})$

Schritt 3.1.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{125}{4} - 15 {(\frac{5}{2})}^{2} + 24 (\frac{5}{2})$

Schritt 3.1.2.1.5

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{125}{4} - 15 \frac{5^{2}}{2^{2}} + 24 (\frac{5}{2})$

Schritt 3.1.2.1.6

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{125}{4} - 15 \frac{25}{2^{2}} + 24 (\frac{5}{2})$

Schritt 3.1.2.1.7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{125}{4} - 15 (\frac{25}{4}) + 24 (\frac{5}{2})$

Schritt 3.1.2.1.8

Multipliziere $- 15 (\frac{25}{4})$ .

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Schritt 3.1.2.1.8.1

Kombiniere $- 15$ und $\frac{25}{4}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{125}{4} + \frac{- 15 \cdot 25}{4} + 24 (\frac{5}{2})$

Schritt 3.1.2.1.8.2

Mutltipliziere $- 15$ mit $25$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{125}{4} + \frac{- 375}{4} + 24 (\frac{5}{2})$

Schritt 3.1.2.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{125}{4} - \frac{375}{4} + 24 (\frac{5}{2})$

Schritt 3.1.2.1.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.1.10.1

Faktorisiere $2$ aus $24$ heraus.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{125}{4} - \frac{375}{4} + 2 (12) (\frac{5}{2})$

Schritt 3.1.2.1.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{125}{4} - \frac{375}{4} + 2 \cdot (12 (\frac{5}{2}))$

Schritt 3.1.2.1.10.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{125}{4} - \frac{375}{4} + 12 \cdot 5$

Schritt 3.1.2.1.11

Mutltipliziere $12$ mit $5$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{125}{4} - \frac{375}{4} + 60$

Schritt 3.1.2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.1.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{5}{2}) = 60 + \frac{125 - 375}{4}$

Schritt 3.1.2.2.2

Subtrahiere $375$ von $125$ .

$f (\frac{5}{2}) = 60 + \frac{- 250}{4}$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 250$ und $4$ .

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Schritt 3.1.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 250$ heraus.

$f (\frac{5}{2}) = 60 + \frac{2 (- 125)}{4}$

Schritt 3.1.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{5}{2}) = 60 + \frac{2 \cdot - 125}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5}{2}) = 60 + \frac{2 \cdot - 125}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5}{2}) = 60 + \frac{- 125}{2}$

Schritt 3.1.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{5}{2}) = 60 - \frac{125}{2}$

Schritt 3.1.2.4

Um $60$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = 60 \cdot \frac{2}{2} - \frac{125}{2}$

Schritt 3.1.2.5

Kombiniere $60$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{60 \cdot 2}{2} - \frac{125}{2}$

Schritt 3.1.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{60 \cdot 2 - 125}{2}$

Schritt 3.1.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.2.7.1

Mutltipliziere $60$ mit $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{120 - 125}{2}$

Schritt 3.1.2.7.2

Subtrahiere $125$ von $120$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{- 5}{2}$

Schritt 3.1.2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{5}{2}$

Schritt 3.1.2.9

Die endgültige Lösung ist $- \frac{5}{2}$ .

$- \frac{5}{2}$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $\frac{5}{2}$ in $f (x) = 2 x^{3} - 15 x^{2} + 24 x$ ermittelt werden kann, ist $(\frac{5}{2}, - \frac{5}{2})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(\frac{5}{2}, - \frac{5}{2})$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, \frac{5}{2}) \cup (\frac{5}{2}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, \frac{5}{2})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2.4$ .

$f'' (2.4) = 12 (2.4) - 30$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $12$ mit $2.4$ .

$f'' (2.4) = 28.8 - 30$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $30$ von $28.8$ .

$f'' (2.4) = - 1.2$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1.2$ .

$- 1.2$

Schritt 5.3

Bei $2.4$ , die zweite Ableitung ist $- 1.2$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, \frac{5}{2})$

Abfallend im Intervall $(- \infty, \frac{5}{2})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{5}{2}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2.6$ .

$f'' (2.6) = 12 (2.6) - 30$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $12$ mit $2.6$ .

$f'' (2.6) = 31.2 - 30$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $30$ von $31.2$ .

$f'' (2.6) = 1.2$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $1.2$ .

$1.2$

Schritt 6.3

Bei $2.6$ ist die zweite Ableitung $1.2$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(\frac{5}{2}, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(\frac{5}{2}, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 7

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(\frac{5}{2}, - \frac{5}{2})$ .

$(\frac{5}{2}, - \frac{5}{2})$

Schritt 8