Analysis Beispiele

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 3 x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.3.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} - 6 x + 0$

Schritt 1.1.3.2

Addiere $3 x^{2} - 6 x$ und $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} - 6 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 6 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 x - 6 \cdot 1$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 6$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $6 x - 6$ .

$6 x - 6$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $6 x - 6 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$6 x - 6 = 0$

Schritt 2.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 x = 6$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $6 x = 6$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x = 6$ durch $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{6}{6}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x}{6} = \frac{6}{6}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{6}{6}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Dividiere $6$ durch $6$ .

$x = 1$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $1$ in $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = {(1)}^{3} - 3 {(1)}^{2} + 1$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 1 - 3 {(1)}^{2} + 1$

Schritt 3.1.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 1 - 3 \cdot 1 + 1$

Schritt 3.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$f (1) = 1 - 3 + 1$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.1.2.2.1

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$f (1) = - 2 + 1$

Schritt 3.1.2.2.2

Addiere $- 2$ und $1$ .

$f (1) = - 1$

Schritt 3.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$- 1$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $1$ in $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ ermittelt werden kann, ist $(1, - 1)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(1, - 1)$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 1)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.9$ .

$f'' (0.9) = 6 (0.9) - 6$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $0.9$ .

$f'' (0.9) = 5.4 - 6$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $6$ von $5.4$ .

$f'' (0.9) = - 0.6$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.6$ .

$- 0.6$

Schritt 5.3

Bei $0.9$ , die zweite Ableitung ist $- 0.6$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, 1)$

Abfallend im Intervall $(- \infty, 1)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(1, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.1$ .

$f'' (1.1) = 6 (1.1) - 6$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $1.1$ .

$f'' (1.1) = 6.6 - 6$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $6$ von $6.6$ .

$f'' (1.1) = 0.6$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.6$ .

$0.6$

Schritt 6.3

Bei $1.1$ ist die zweite Ableitung $0.6$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(1, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(1, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 7

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(1, - 1)$ .

$(1, - 1)$

Schritt 8