Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{2 x^{2} - x - 1}$

Schritt 1

Find the domain to determine if the expression is continuous.

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Schritt 1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{2 x^{2} - x - 1}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 x^{2} - x - 1 \geq 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$2 x^{2} - x - 1 = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.2.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

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Schritt 1.2.2.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$2 x^{2} - (x) - 1 = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Schreibe $- 1$ um als $1$ plus $- 2$

$2 x^{2} + (1 - 2) x - 1 = 0$

Schritt 1.2.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} + 1 x - 2 x - 1 = 0$

Schritt 1.2.2.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$2 x^{2} + x - 2 x - 1 = 0$

Schritt 1.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 x^{2} + x) - 2 x - 1 = 0$

Schritt 1.2.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (2 x + 1) - (2 x + 1) = 0$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Schritt 1.2.4.2

Löse $2 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 1$

Schritt 1.2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 1.2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 1.2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 1.2.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.5

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x + 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{2}, 1$

Schritt 1.2.7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < 1$

$x > 1$

Schritt 1.2.8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 1.2.8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.2.8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 3$

Schritt 1.2.8.1.2

Ersetze $x$ durch $- 3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 {(- 3)}^{2} - (- 3) - 1 \geq 0$

Schritt 1.2.8.1.3

Die linke Seite $20$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 1.2.8.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{1}{2} < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.2.8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{1}{2} < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 1.2.8.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 {(0)}^{2} - (0) - 1 \geq 0$

Schritt 1.2.8.2.3

Die linke Seite $- 1$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 1.2.8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.2.8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 1.2.8.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 {(4)}^{2} - (4) - 1 \geq 0$

Schritt 1.2.8.3.3

Die linke Seite $27$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 1.2.8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{1}{2}$ Wahr

$- \frac{1}{2} < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Wahr

$x < - \frac{1}{2}$ Wahr

$- \frac{1}{2} < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Wahr

Schritt 1.2.9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - \frac{1}{2}$ oder $x \geq 1$

Schritt 1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \frac{1}{2}] \cup [1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq - \frac{1}{2}, x \geq 1}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \frac{1}{2}] \cup [1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq - \frac{1}{2}, x \geq 1}$

Schritt 2

Da der Definitionsbereich nicht alle reellen Zahlen umfasst, ist $\sqrt{2 x^{2} - x - 1}$ nicht stetig auf der Menge der reellen Zahlen.

Nicht stetig

Schritt 3