Analysis Beispiele

$y = 4 x^{3} - 51 x^{2} - 180 x + 11$

Schritt 1

Schreibe $y = 4 x^{3} - 51 x^{2} - 180 x + 11$ als Funktion.

$f (x) = 4 x^{3} - 51 x^{2} - 180 x + 11$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} - 51 x^{2} - 180 x + 11$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 51 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 180 x] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 51 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 51 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 51 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

Schritt 2.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 51 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 51 x^{2}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 51$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 51 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 51 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 51 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 51 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 51$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

Schritt 2.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 180 x]$ .

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Schritt 2.1.4.1

Da $- 180$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 180 x$ nach $x$ gleich $- 180 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x - 180 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (11)$

Schritt 2.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x - 180 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (11)$

Schritt 2.1.4.3

Mutltipliziere $- 180$ mit $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x - 180 + \frac{d}{d x} (11)$

Schritt 2.1.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.5.1

Da $11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $11$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x - 180 + 0$

Schritt 2.1.5.2

Addiere $12 x^{2} - 102 x - 180$ und $0$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x - 180$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $12 x^{2} - 102 x - 180$ .

$12 x^{2} - 102 x - 180$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $12 x^{2} - 102 x - 180 = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$12 x^{2} - 102 x - 180 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $6$ aus $12 x^{2} - 102 x - 180$ heraus.

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $6$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$6 (2 x^{2}) - 102 x - 180 = 0$

Schritt 3.2.1.2

Faktorisiere $6$ aus $- 102 x$ heraus.

$6 (2 x^{2}) + 6 (- 17 x) - 180 = 0$

Schritt 3.2.1.3

Faktorisiere $6$ aus $- 180$ heraus.

$6 (2 x^{2}) + 6 (- 17 x) + 6 (- 30) = 0$

Schritt 3.2.1.4

Faktorisiere $6$ aus $6 (2 x^{2}) + 6 (- 17 x)$ heraus.

$6 (2 x^{2} - 17 x) + 6 (- 30) = 0$

Schritt 3.2.1.5

Faktorisiere $6$ aus $6 (2 x^{2} - 17 x) + 6 (- 30)$ heraus.

$6 (2 x^{2} - 17 x - 30) = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.2.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 30 = - 60$ und deren Summe gleich $b = - 17$ ist.

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Faktorisiere $- 17$ aus $- 17 x$ heraus.

$6 (2 x^{2} - 17 x - 30) = 0$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Schreibe $- 17$ um als $3$ plus $- 20$

$6 (2 x^{2} + (3 - 20) x - 30) = 0$

Schritt 3.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 (2 x^{2} + 3 x - 20 x - 30) = 0$

Schritt 3.2.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$6 ((2 x^{2} + 3 x) - 20 x - 30) = 0$

Schritt 3.2.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$6 (x (2 x + 3) - 10 (2 x + 3)) = 0$

Schritt 3.2.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x + 3$ .

$6 ((2 x + 3) (x - 10)) = 0$

Schritt 3.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$6 (2 x + 3) (x - 10) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x + 3 = 0$

$x - 10 = 0$

Schritt 3.4

Setze $2 x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $2 x + 3$ gleich $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Schritt 3.4.2

Löse $2 x + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 3$

Schritt 3.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Schritt 3.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Schritt 3.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Schritt 3.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3}{2}$

Schritt 3.5

Setze $x - 10$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x - 10$ gleich $0$ .

$x - 10 = 0$

Schritt 3.5.2

Addiere $10$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 10$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $6 (2 x + 3) (x - 10) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{3}{2}, 10$

Schritt 4

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $- \frac{3}{2}, 10$ .

$- \frac{3}{2}, 10$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}, 10) \cup (10, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - \frac{3}{2})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2.5$ .

$f' (- 2.5) = 12 {(- 2.5)}^{2} - 102 \cdot - 2.5 - 180$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 2.5$ mit $2$ .

$f' (- 2.5) = 12 \cdot 6.25 - 102 \cdot - 2.5 - 180$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $6.25$ .

$f' (- 2.5) = 75 - 102 \cdot - 2.5 - 180$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $- 102$ mit $- 2.5$ .

$f' (- 2.5) = 75 + 255 - 180$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 6.2.2.1

Addiere $75$ und $255$ .

$f' (- 2.5) = 330 - 180$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $180$ von $330$ .

$f' (- 2.5) = 150$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $150$ .

$150$

Schritt 6.3

Bei $x = - 2.5$ ist die Ableitung $150$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, - \frac{3}{2})$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - \frac{3}{2})$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 1.5, 10)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4.25$ .

$f' (4.25) = 12 {(4.25)}^{2} - 102 \cdot 4.25 - 180$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $4.25$ mit $2$ .

$f' (4.25) = 12 \cdot 18.0625 - 102 \cdot 4.25 - 180$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $18.0625$ .

$f' (4.25) = 216.75 - 102 \cdot 4.25 - 180$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $- 102$ mit $4.25$ .

$f' (4.25) = 216.75 - 433.5 - 180$

Schritt 7.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 7.2.2.1

Subtrahiere $433.5$ von $216.75$ .

$f' (4.25) = - 216.75 - 180$

Schritt 7.2.2.2

Subtrahiere $180$ von $- 216.75$ .

$f' (4.25) = - 396.75$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 396.75$ .

$- 396.75$

Schritt 7.3

Bei $x = 4.25$ ist die Ableitung $- 396.75$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- 1.5, 10)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \frac{3}{2}, 10)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(10, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $11$ .

$f' (11) = 12 {(11)}^{2} - 102 \cdot 11 - 180$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $11$ mit $2$ .

$f' (11) = 12 \cdot 121 - 102 \cdot 11 - 180$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $121$ .

$f' (11) = 1452 - 102 \cdot 11 - 180$

Schritt 8.2.1.3

Mutltipliziere $- 102$ mit $11$ .

$f' (11) = 1452 - 1122 - 180$

Schritt 8.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 8.2.2.1

Subtrahiere $1122$ von $1452$ .

$f' (11) = 330 - 180$

Schritt 8.2.2.2

Subtrahiere $180$ von $330$ .

$f' (11) = 150$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $150$ .

$150$

Schritt 8.3

Bei $x = 11$ ist die Ableitung $150$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(10, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(10, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 9

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, - \frac{3}{2}), (10, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \frac{3}{2}, 10)$

Schritt 10