Analysis Beispiele

$y = 8 x^{3} - 18 x^{2} - 24 x + 9$

Schritt 1

Schreibe $y = 8 x^{3} - 18 x^{2} - 24 x + 9$ als Funktion.

$f (x) = 8 x^{3} - 18 x^{2} - 24 x + 9$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 x^{3} - 18 x^{2} - 24 x + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x^{3}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 2.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 18 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$24 x^{2} - 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$24 x^{2} - 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 18$ .

$24 x^{2} - 36 x + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 2.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

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Schritt 2.1.4.1

Da $- 24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 24 x$ nach $x$ gleich $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x^{2} - 36 x - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 2.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$24 x^{2} - 36 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 2.1.4.3

Mutltipliziere $- 24$ mit $1$ .

$24 x^{2} - 36 x - 24 + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 2.1.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.5.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$24 x^{2} - 36 x - 24 + 0$

Schritt 2.1.5.2

Addiere $24 x^{2} - 36 x - 24$ und $0$ .

$f' (x) = 24 x^{2} - 36 x - 24$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $24 x^{2} - 36 x - 24$ .

$24 x^{2} - 36 x - 24$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $24 x^{2} - 36 x - 24 = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$24 x^{2} - 36 x - 24 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $12$ aus $24 x^{2} - 36 x - 24$ heraus.

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $12$ aus $24 x^{2}$ heraus.

$12 (2 x^{2}) - 36 x - 24 = 0$

Schritt 3.2.1.2

Faktorisiere $12$ aus $- 36 x$ heraus.

$12 (2 x^{2}) + 12 (- 3 x) - 24 = 0$

Schritt 3.2.1.3

Faktorisiere $12$ aus $- 24$ heraus.

$12 (2 x^{2}) + 12 (- 3 x) + 12 (- 2) = 0$

Schritt 3.2.1.4

Faktorisiere $12$ aus $12 (2 x^{2}) + 12 (- 3 x)$ heraus.

$12 (2 x^{2} - 3 x) + 12 (- 2) = 0$

Schritt 3.2.1.5

Faktorisiere $12$ aus $12 (2 x^{2} - 3 x) + 12 (- 2)$ heraus.

$12 (2 x^{2} - 3 x - 2) = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.2.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ und deren Summe gleich $b = - 3$ ist.

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 x$ heraus.

$12 (2 x^{2} - 3 x - 2) = 0$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Schreibe $- 3$ um als $1$ plus $- 4$

$12 (2 x^{2} + (1 - 4) x - 2) = 0$

Schritt 3.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$12 (2 x^{2} + 1 x - 4 x - 2) = 0$

Schritt 3.2.2.1.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$12 (2 x^{2} + x - 4 x - 2) = 0$

Schritt 3.2.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$12 ((2 x^{2} + x) - 4 x - 2) = 0$

Schritt 3.2.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$12 (x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1)) = 0$

Schritt 3.2.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x + 1$ .

$12 ((2 x + 1) (x - 2)) = 0$

Schritt 3.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$12 (2 x + 1) (x - 2) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 3.4

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Schritt 3.4.2

Löse $2 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 1$

Schritt 3.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 3.5

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 3.5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $12 (2 x + 1) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{2}, 2$

Schritt 4

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $- \frac{1}{2}, 2$ .

$- \frac{1}{2}, 2$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - \frac{1}{2})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.5$ .

$f' (- 1.5) = 24 {(- 1.5)}^{2} - 36 \cdot - 1.5 - 24$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 1.5$ mit $2$ .

$f' (- 1.5) = 24 \cdot 2.25 - 36 \cdot - 1.5 - 24$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $24$ mit $2.25$ .

$f' (- 1.5) = 54 - 36 \cdot - 1.5 - 24$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $- 36$ mit $- 1.5$ .

$f' (- 1.5) = 54 + 54 - 24$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 6.2.2.1

Addiere $54$ und $54$ .

$f' (- 1.5) = 108 - 24$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $24$ von $108$ .

$f' (- 1.5) = 84$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $84$ .

$84$

Schritt 6.3

Bei $x = - 1.5$ ist die Ableitung $84$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, - \frac{1}{2})$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - \frac{1}{2})$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 0.5, 2)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.75$ .

$f' (0.75) = 24 {(0.75)}^{2} - 36 \cdot 0.75 - 24$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $0.75$ mit $2$ .

$f' (0.75) = 24 \cdot 0.5625 - 36 \cdot 0.75 - 24$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $24$ mit $0.5625$ .

$f' (0.75) = 13.5 - 36 \cdot 0.75 - 24$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $- 36$ mit $0.75$ .

$f' (0.75) = 13.5 - 27 - 24$

Schritt 7.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 7.2.2.1

Subtrahiere $27$ von $13.5$ .

$f' (0.75) = - 13.5 - 24$

Schritt 7.2.2.2

Subtrahiere $24$ von $- 13.5$ .

$f' (0.75) = - 37.5$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 37.5$ .

$- 37.5$

Schritt 7.3

Bei $x = 0.75$ ist die Ableitung $- 37.5$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- 0.5, 2)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \frac{1}{2}, 2)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(2, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f' (3) = 24 {(3)}^{2} - 36 \cdot 3 - 24$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f' (3) = 24 \cdot 9 - 36 \cdot 3 - 24$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $24$ mit $9$ .

$f' (3) = 216 - 36 \cdot 3 - 24$

Schritt 8.2.1.3

Mutltipliziere $- 36$ mit $3$ .

$f' (3) = 216 - 108 - 24$

Schritt 8.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 8.2.2.1

Subtrahiere $108$ von $216$ .

$f' (3) = 108 - 24$

Schritt 8.2.2.2

Subtrahiere $24$ von $108$ .

$f' (3) = 84$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $84$ .

$84$

Schritt 8.3

Bei $x = 3$ ist die Ableitung $84$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(2, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(2, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 9

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, - \frac{1}{2}), (2, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \frac{1}{2}, 2)$

Schritt 10