Analysis Beispiele

$y = x - 4 \ln (3 x - 4)$

Schritt 1

Schreibe $y = x - 4 \ln (3 x - 4)$ als Funktion.

$f (x) = x - 4 \ln (3 x - 4)$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 4 \ln (3 x - 4)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 4)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 4)]$

Schritt 2.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 4)]$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 4)]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 \ln (3 x - 4)$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 4)]$ .

$1 - 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 4)]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 3 x - 4$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x - 4$ .

$1 - 4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 4])$

Schritt 2.1.2.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$1 - 4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 4])$

Schritt 2.1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x - 4$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} \frac{d}{d x} [3 x - 4])$

Schritt 2.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]))$

Schritt 2.1.2.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]))$

Schritt 2.1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]))$

Schritt 2.1.2.6

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (3 \cdot 1 + 0))$

Schritt 2.1.2.7

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (3 + 0))$

Schritt 2.1.2.8

Addiere $3$ und $0$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} \cdot 3)$

Schritt 2.1.2.9

Kombiniere $\frac{1}{3 x - 4}$ und $3$ .

$1 - 4 \frac{3}{3 x - 4}$

Schritt 2.1.2.10

Kombiniere $- 4$ und $\frac{3}{3 x - 4}$ .

$1 + \frac{- 4 \cdot 3}{3 x - 4}$

Schritt 2.1.2.11

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$1 + \frac{- 12}{3 x - 4}$

Schritt 2.1.2.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 - \frac{12}{3 x - 4}$

Schritt 2.1.3

Vereine die Terme

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Schritt 2.1.3.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 x - 4}{3 x - 4} - \frac{12}{3 x - 4}$

Schritt 2.1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 x - 4 - 12}{3 x - 4}$

Schritt 2.1.3.3

Subtrahiere $12$ von $- 4$ .

$f' (x) = \frac{3 x - 16}{3 x - 4}$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{3 x - 16}{3 x - 4}$ .

$\frac{3 x - 16}{3 x - 4}$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{3 x - 16}{3 x - 4} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{3 x - 16}{3 x - 4} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$3 x - 16 = 0$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 16$

Schritt 3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 16$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 16$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{16}{3}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{16}{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{16}{3}$

Schritt 4

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $\frac{16}{3}$ .

$\frac{16}{3}$

Schritt 5

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 5.1

Setze den Nenner in $\frac{3 x - 16}{3 x - 4}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 x - 4 = 0$

Schritt 5.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 4$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 4$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 4$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Schritt 6

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, \frac{4}{3}) \cup (\frac{4}{3}, \frac{16}{3}) \cup (\frac{16}{3}, \infty)$

Schritt 7

Schließe die Intervalle aus, die nicht im Definitionsbereich sind.

$(\frac{4}{3}, \frac{16}{3})$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(1.3333334, \frac{16}{3})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3.33333345$ .

$f' (3.33333345) = \frac{3 (3.33333345) - 16}{3 (3.33333345) - 4}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3.33333345$ .

$f' (3.33333345) = \frac{10.00000035 - 16}{3 (3.33333345) - 4}$

Schritt 8.2.1.2

Subtrahiere $16$ von $10.00000035$ .

$f' (3.33333345) = \frac{- 5.99999965}{3 (3.33333345) - 4}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $3.33333345$ .

$f' (3.33333345) = \frac{- 5.99999965}{10.00000035 - 4}$

Schritt 8.2.2.2

Subtrahiere $4$ von $10.00000035$ .

$f' (3.33333345) = \frac{- 5.99999965}{6.00000035}$

Schritt 8.2.3

Dividiere $- 5.99999965$ durch $6.00000035$ .

$f' (3.33333345) = - 0.99999988$

Schritt 8.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 0.99999988$ .

$- 0.99999988$

Schritt 8.3

Bei $x = 3.33333345$ ist die Ableitung $- 0.99999988$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(1.3333334, \frac{16}{3})$ ab.

Abfallend im Intervall $(\frac{4}{3}, \frac{16}{3})$ da $f' (x) < 0$

Schritt 9

Schließe die Intervalle aus, die nicht im Definitionsbereich sind.

$(\frac{4}{3}, \frac{16}{3}), (\frac{16}{3}, \infty)$

Schritt 10

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{16}{3}, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 10.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6.3333335$ .

$f' (6.3333335) = \frac{3 (6.3333335) - 16}{3 (6.3333335) - 4}$

Schritt 10.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $6.3333335$ .

$f' (6.3333335) = \frac{19.0000005 - 16}{3 (6.3333335) - 4}$

Schritt 10.2.1.2

Subtrahiere $16$ von $19.0000005$ .

$f' (6.3333335) = \frac{3.0000005}{3 (6.3333335) - 4}$

Schritt 10.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.2.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $6.3333335$ .

$f' (6.3333335) = \frac{3.0000005}{19.0000005 - 4}$

Schritt 10.2.2.2

Subtrahiere $4$ von $19.0000005$ .

$f' (6.3333335) = \frac{3.0000005}{15.0000005}$

Schritt 10.2.3

Dividiere $3.0000005$ durch $15.0000005$ .

$f' (6.3333335) = 0.20000002$

Schritt 10.2.4

Die endgültige Lösung ist $0.20000002$ .

$0.20000002$

Schritt 10.3

Bei $x = 6.3333335$ ist die Ableitung $0.20000002$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(\frac{16}{3}, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(\frac{16}{3}, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 11

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(\frac{16}{3}, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(\frac{4}{3}, \frac{16}{3})$

Schritt 12