Analysis Beispiele

$y = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 6$

Schritt 1

Schreibe $y = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 6$ als Funktion.

$f (x) = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 6$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Schritt 2.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Schritt 2.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12 x$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (6)$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (6)$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 + \frac{d}{d x} (6)$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.4.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 + 0$

Schritt 2.1.4.2

Addiere $3 x^{2} - 16 x - 12$ und $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $3 x^{2} - 16 x - 12$ .

$3 x^{2} - 16 x - 12$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 x^{2} - 16 x - 12 = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$3 x^{2} - 16 x - 12 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 12 = - 36$ und deren Summe gleich $b = - 16$ ist.

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $- 16$ aus $- 16 x$ heraus.

$3 x^{2} - 16 x - 12 = 0$

Schritt 3.2.1.2

Schreibe $- 16$ um als $2$ plus $- 18$

$3 x^{2} + (2 - 18) x - 12 = 0$

Schritt 3.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} + 2 x - 18 x - 12 = 0$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 x^{2} + 2 x) - 18 x - 12 = 0$

Schritt 3.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (3 x + 2) - 6 (3 x + 2) = 0$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x + 2$ .

$(3 x + 2) (x - 6) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$x - 6 = 0$

Schritt 3.4

Setze $3 x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $3 x + 2$ gleich $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Schritt 3.4.2

Löse $3 x + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 2$

Schritt 3.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 3.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 3.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Schritt 3.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2}{3}$

Schritt 3.5

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 3.5.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x + 2) (x - 6) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{2}{3}, 6$

Schritt 4

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $- \frac{2}{3}, 6$ .

$- \frac{2}{3}, 6$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, 6) \cup (6, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - \frac{2}{3})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.6666667$ .

$f' (- 1.6666667) = 3 {(- 1.6666667)}^{2} - 16 \cdot - 1.6666667 - 12$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 1.6666667$ mit $2$ .

$f' (- 1.6666667) = 3 \cdot 2.777777\overline{8} - 16 \cdot - 1.6666667 - 12$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2.777777\overline{8}$ .

$f' (- 1.6666667) = 8.333333\overline{6} - 16 \cdot - 1.6666667 - 12$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 1.6666667$ .

$f' (- 1.6666667) = 8.333333\overline{6} + 26.6666672 - 12$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 6.2.2.1

Addiere $8.333333\overline{6}$ und $26.6666672$ .

$f' (- 1.6666667) = 35.00000086 - 12$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $12$ von $35.00000086$ .

$f' (- 1.6666667) = 23.00000086$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $23.00000086$ .

$23.00000086$

Schritt 6.3

Bei $x = - 1.6666667$ ist die Ableitung $23.00000086$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, - \frac{2}{3})$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - \frac{2}{3})$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 0.6666667, 6)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2.\overline{6}$ .

$f' (2.\overline{6}) = 3 {(2.\overline{6})}^{2} - 16 \cdot 2.\overline{6} - 12$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $2.\overline{6}$ mit $2$ .

$f' (2.\overline{6}) = 3 \cdot 7.11111102 - 16 \cdot 2.\overline{6} - 12$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $7.11111102$ .

$f' (2.\overline{6}) = 21.33333306 - 16 \cdot 2.\overline{6} - 12$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $2.\overline{6}$ .

$f' (2.\overline{6}) = 21.33333306 - 42.6666664 - 12$

Schritt 7.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 7.2.2.1

Subtrahiere $42.6666664$ von $21.33333306$ .

$f' (2.\overline{6}) = - 21.\overline{3} - 12$

Schritt 7.2.2.2

Subtrahiere $12$ von $- 21.\overline{3}$ .

$f' (2.\overline{6}) = - 33.\overline{3}$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 33.\overline{3}$ .

$- 33.\overline{3}$

Schritt 7.3

Bei $x = 2.\overline{6}$ ist die Ableitung $- 33.\overline{3}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- 0.6666667, 6)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \frac{2}{3}, 6)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(6, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $7$ .

$f' (7) = 3 {(7)}^{2} - 16 \cdot 7 - 12$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$f' (7) = 3 \cdot 49 - 16 \cdot 7 - 12$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $49$ .

$f' (7) = 147 - 16 \cdot 7 - 12$

Schritt 8.2.1.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $7$ .

$f' (7) = 147 - 112 - 12$

Schritt 8.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 8.2.2.1

Subtrahiere $112$ von $147$ .

$f' (7) = 35 - 12$

Schritt 8.2.2.2

Subtrahiere $12$ von $35$ .

$f' (7) = 23$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $23$ .

$23$

Schritt 8.3

Bei $x = 7$ ist die Ableitung $23$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(6, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(6, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 9

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, - \frac{2}{3}), (6, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \frac{2}{3}, 6)$

Schritt 10