Analysis Beispiele

$2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$

Schritt 1

Schreibe $2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$ als Funktion.

$f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Schritt 2.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Schritt 2.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.1

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12 x$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 \cdot 1$

Schritt 2.1.4.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 12$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x^{2} + 6 x - 12$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 2.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{2}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 2.2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 2.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$12 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 2.2.3.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$12 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.1

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$12 x + 6 + 0$

Schritt 2.2.4.2

Addiere $12 x + 6$ und $0$ .

$f'' (x) = 12 x + 6$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $12 x + 6$ .

$12 x + 6$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $12 x + 6 = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$12 x + 6 = 0$

Schritt 3.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$12 x = - 6$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $12 x = - 6$ durch $12$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $12 x = - 6$ durch $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{- 6}{12}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 x}{12} = \frac{- 6}{12}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 6}{12}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1.1

Faktorisiere $6$ aus $- 6$ heraus.

$x = \frac{6 (- 1)}{12}$

Schritt 3.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1.2.1

Faktorisiere $6$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

Schritt 3.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

Schritt 3.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.3.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ersetze $- \frac{1}{2}$ in $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 2 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$f (- \frac{1}{2}) = 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.1.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f (- \frac{1}{2}) = 2 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{2^{3}})) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.1.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 2 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.1.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (- \frac{1}{2}) = 2 (- \frac{1}{2^{3}}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.1.2.1.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 2 (- \frac{1}{8}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.1.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{8}$ in den Zähler.

$f (- \frac{1}{2}) = 2 (\frac{- 1}{8}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.1.2.1.5.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$f (- \frac{1}{2}) = 2 (\frac{- 1}{2 (4)}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.1.2.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{1}{2}) = 2 (\frac{- 1}{2 \cdot 4}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.1.2.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1}{4} + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.1.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.1.2.1.7

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.7.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - 12 (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.1.2.1.7.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) - 12 (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.1.2.1.8

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + 3 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) - 12 (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.1.2.1.9

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + 3 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 12 (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.1.2.1.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + 3 (\frac{1}{2^{2}}) - 12 (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.1.2.1.11

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + 3 (\frac{1}{4}) - 12 (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.1.2.1.12

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} - 12 (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.1.2.1.13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.13.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} - 12 (\frac{- 1}{2})$

Schritt 4.1.2.1.13.2

Faktorisiere $2$ aus $- 12$ heraus.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 2 (- 6) (\frac{- 1}{2})$

Schritt 4.1.2.1.13.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 2 \cdot (- 6 (\frac{- 1}{2}))$

Schritt 4.1.2.1.13.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} - 6 \cdot - 1$

Schritt 4.1.2.1.14

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 6$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{1}{2}) = 6 + \frac{- 1 + 3}{4}$

Schritt 4.1.2.2.2

Addiere $- 1$ und $3$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 6 + \frac{2}{4}$

Schritt 4.1.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (- \frac{1}{2}) = 6 + \frac{2 (1)}{4}$

Schritt 4.1.2.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (- \frac{1}{2}) = 6 + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{1}{2}) = 6 + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.2.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{1}{2}) = 6 + \frac{1}{2}$

Schritt 4.1.2.3

Um $6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 6 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 4.1.2.4

Kombiniere $6$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{6 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 4.1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{6 \cdot 2 + 1}{2}$

Schritt 4.1.2.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.6.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{12 + 1}{2}$

Schritt 4.1.2.6.2

Addiere $12$ und $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{13}{2}$

Schritt 4.1.2.7

Die endgültige Lösung ist $\frac{13}{2}$ .

$\frac{13}{2}$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- \frac{1}{2}$ in $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$ ermittelt werden kann, ist $(- \frac{1}{2}, \frac{13}{2})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- \frac{1}{2}, \frac{13}{2})$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - \frac{1}{2})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.6$ .

$f'' (- 0.6) = 12 (- 0.6) + 6$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $12$ mit $- 0.6$ .

$f'' (- 0.6) = - 7.2 + 6$

Schritt 6.2.2

Addiere $- 7.2$ und $6$ .

$f'' (- 0.6) = - 1.2$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1.2$ .

$- 1.2$

Schritt 6.3

Bei $- 0.6$ , die zweite Ableitung ist $- 1.2$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, - \frac{1}{2})$

Abfallend im Intervall $(- \infty, - \frac{1}{2})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \frac{1}{2}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.4$ .

$f'' (- 0.4) = 12 (- 0.4) + 6$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $12$ mit $- 0.4$ .

$f'' (- 0.4) = - 4.8 + 6$

Schritt 7.2.2

Addiere $- 4.8$ und $6$ .

$f'' (- 0.4) = 1.2$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $1.2$ .

$1.2$

Schritt 7.3

Bei $- 0.4$ ist die zweite Ableitung $1.2$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \frac{1}{2}, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \frac{1}{2}, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(- \frac{1}{2}, \frac{13}{2})$ .

$(- \frac{1}{2}, \frac{13}{2})$

Schritt 9