Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{{(2 x - 5)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1.1.1

Schreibe $\frac{1}{{(2 x - 5)}^{\frac{1}{3}}}$ als ${({(2 x - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{({(2 x - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Schritt 1.1.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 x - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

Schritt 1.1.1.2.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{\frac{- 1}{3}}]$

Schritt 1.1.1.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- \frac{1}{3}}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ und $g (x) = 2 x - 5$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x - 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x - 5$ .

$- \frac{1}{3} {(2 x - 5)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Schritt 1.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(2 x - 5)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Schritt 1.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(2 x - 5)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Schritt 1.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{3} {(2 x - 5)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Schritt 1.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- \frac{1}{3} {(2 x - 5)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Schritt 1.1.6.2

Subtrahiere $3$ von $- 1$ .

$- \frac{1}{3} {(2 x - 5)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Schritt 1.1.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{3} {(2 x - 5)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Schritt 1.1.7.2

Kombiniere ${(2 x - 5)}^{- \frac{4}{3}}$ und $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{{(2 x - 5)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Schritt 1.1.7.3

Bringe ${(2 x - 5)}^{- \frac{4}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Schritt 1.1.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$- \frac{1}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 1.1.9

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 1.1.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{1}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 1.1.11

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- \frac{1}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}} (2 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 1.1.12

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{1}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}} (2 + 0)$

Schritt 1.1.13

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.13.1

Addiere $2$ und $0$ .

$- \frac{1}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}} \cdot 2$

Schritt 1.1.13.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 1.1.13.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{- 2}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 1.1.13.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{2}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.2.1.1

Da $- \frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}}$ nach $x$ gleich $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}}]$ .

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}}]$

Schritt 1.2.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.2.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}}$ als ${({(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ um.

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{({(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}})}^{- 1}]$

Schritt 1.2.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{\frac{4}{3} \cdot - 1}]$

Schritt 1.2.1.2.2.2

Multipliziere $\frac{4}{3} \cdot - 1$ .

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Schritt 1.2.1.2.2.2.1

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $- 1$ .

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{\frac{4 \cdot - 1}{3}}]$

Schritt 1.2.1.2.2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{\frac{- 4}{3}}]$

Schritt 1.2.1.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- \frac{4}{3}}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- \frac{4}{3}}$ und $g (x) = 2 x - 5$ .

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Schritt 1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x - 5$ .

$- \frac{2}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{4}{3}$ .

$- \frac{2}{3} (- \frac{4}{3} u^{- \frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

Schritt 1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x - 5$ .

$- \frac{2}{3} (- \frac{4}{3} {(2 x - 5)}^{- \frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

Schritt 1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} (- \frac{4}{3} {(2 x - 5)}^{- \frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} (- \frac{4}{3} {(2 x - 5)}^{- \frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

Schritt 1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{2}{3} (- \frac{4}{3} {(2 x - 5)}^{\frac{- 4 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- \frac{2}{3} (- \frac{4}{3} {(2 x - 5)}^{\frac{- 4 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

Schritt 1.2.6.2

Subtrahiere $3$ von $- 4$ .

$- \frac{2}{3} (- \frac{4}{3} {(2 x - 5)}^{\frac{- 7}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

Schritt 1.2.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.2.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{3} (- \frac{4}{3} {(2 x - 5)}^{- \frac{7}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

Schritt 1.2.7.2

Kombiniere ${(2 x - 5)}^{- \frac{7}{3}}$ und $\frac{4}{3}$ .

$- \frac{2}{3} (- \frac{{(2 x - 5)}^{- \frac{7}{3}} \cdot 4}{3} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

Schritt 1.2.7.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.7.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von ${(2 x - 5)}^{- \frac{7}{3}}$ .

$- \frac{2}{3} (- \frac{4 \cdot {(2 x - 5)}^{- \frac{7}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

Schritt 1.2.7.3.2

Bringe ${(2 x - 5)}^{- \frac{7}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{3} (- \frac{4}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

Schritt 1.2.7.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{2}{3}) (\frac{4}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

Schritt 1.2.7.3.4

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $1$ .

$\frac{2}{3} (\frac{4}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

Schritt 1.2.7.4

Mutltipliziere $\frac{4}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{4 \cdot 2}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}} \cdot 3} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Schritt 1.2.7.5

Multipliziere.

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Schritt 1.2.7.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{8}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}} \cdot 3} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Schritt 1.2.7.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{8}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Schritt 1.2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{8}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 1.2.9

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{8}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 1.2.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{8}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 1.2.11

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{8}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}} (2 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 1.2.12

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{8}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}} (2 + 0)$

Schritt 1.2.13

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.2.13.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{8}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}} \cdot 2$

Schritt 1.2.13.2

Kombiniere $\frac{8}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}}$ und $2$ .

$\frac{8 \cdot 2}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}}$

Schritt 1.2.13.3

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{16}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}}$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{16}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}}$ .

$\frac{16}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}}$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{16}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{16}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$16 = 0$

Schritt 2.3

Da $16 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 3

Keine Werte gefunden, die die zweite Ableitung gleich $0$ machen.

Keine Wendepunkte