Analysis Beispiele

$y = 5 x^{2} - x - 9$

Schritt 1

Schreibe $y = 5 x^{2} - x - 9$ als Funktion.

$f (x) = 5 x^{2} - x - 9$

Schritt 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 2.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{2} - x - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 2.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Schritt 2.1.1.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 2.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 2.1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 2.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 2.1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 2.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$10 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 2.1.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$10 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 2.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.1.4.1

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$10 x - 1 + 0$

Schritt 2.1.1.4.2

Addiere $10 x - 1$ und $0$ .

$f' (x) = 10 x - 1$

Schritt 2.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $10 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 x$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.2.3

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$10 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$10 + 0$

Schritt 2.1.2.3.2

Addiere $10$ und $0$ .

$f'' (x) = 10$

Schritt 2.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $10$ .

$10$

Schritt 2.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $10 = 0$ .

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Schritt 2.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$10 = 0$

Schritt 2.2.2

Da $10 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 4

Der Graph ist konvex, da die zweite Ableitung positiv ist.

Der Graph ist konvex

Schritt 5