Analysis Beispiele

$f (x) = x + \frac{1}{x}$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + \frac{1}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Schritt 1.1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f' (x) = 1 - x^{- 2}$

Schritt 1.1.1.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.1.1.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 1$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{1}{x^{2}} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.2.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.2.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.2.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.2.2.6

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.2.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.2.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.2.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.2.2.8

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.2.2.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.2.2.10

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.2.2.11

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.2.2.12

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2}}$ mit $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.2.2.13

Addiere $2 x^{- 3}$ und $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.2.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 0$

Schritt 1.1.2.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{x^{3}}) + 0$

Schritt 1.1.2.4.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.4.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} + 0$

Schritt 1.1.2.4.2.2

Addiere $\frac{2}{x^{3}}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2}{x^{3}}$ .

$\frac{2}{x^{3}}$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2}{x^{3}} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{2}{x^{3}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 = 0$

Schritt 1.2.3

Da $2 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = x + \frac{1}{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 2.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{2}{{(- 2)}^{3}}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und ${(- 2)}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$f'' (- 2) = \frac{- 1 \cdot - 2}{{(- 2)}^{3}}$

Schritt 4.2.1.2

Faktorisiere $- 2$ aus $- 1 (- 2)$ heraus.

$f'' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 1}{{(- 2)}^{3}}$

Schritt 4.2.1.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.3.1

Faktorisiere $- 2$ aus ${(- 2)}^{3}$ heraus.

$f'' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 {(- 2)}^{2}}$

Schritt 4.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 {(- 2)}^{2}}$

Schritt 4.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- 2) = \frac{- 1}{{(- 2)}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 1}{4}$

Schritt 4.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (- 2) = - \frac{1}{4}$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4}$

Schritt 4.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, 0)$ konkav, weil $f'' (- 2)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, 0)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f'' (2) = \frac{2}{{(2)}^{3}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und ${(2)}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f'' (2) = \frac{2 (1)}{{(2)}^{3}}$

Schritt 5.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus ${(2)}^{3}$ heraus.

$f'' (2) = \frac{2 (1)}{2 \cdot 2^{2}}$

Schritt 5.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2^{2}}$

Schritt 5.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (2) = \frac{1}{2^{2}}$

Schritt 5.2.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f'' (2) = \frac{1}{4}$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(0, \infty)$ konvex, weil $f'' (2)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(0, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 6

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, 0)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(0, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 7