Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x + 2}{x - 2}$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x + 2$ und $g (x) = x - 2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)) - (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (2)) - (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.4.2

Mutltipliziere $x - 2$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x - 2 - (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = \frac{x - 2 - (x + 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x - 2 - (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 2))}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.7

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{x - 2 - (x + 2) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.2.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{x - 2 - (x + 2) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x - 2 - (x + 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{x - 2 - x - 1 \cdot 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.3.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 2 - x - 1 \cdot 2$ .

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Schritt 1.1.1.3.2.1.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f' (x) = \frac{0 - 2 - 1 \cdot 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.2

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$f' (x) = \frac{- 2 - 1 \cdot 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{- 2 - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.3

Subtrahiere $2$ von $- 2$ .

$f' (x) = \frac{- 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{4}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1.2.1.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{4}{{(x - 2)}^{2}}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1.2.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ als ${({(x - 2)}^{2})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} {({(x - 2)}^{2})}^{- 1}$

Schritt 1.1.2.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 2)}^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.1.2.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.1.2.1.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{- 2}$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 2}$ und $g (x) = x - 2$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 2$ .

$f'' (x) = - 4 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x - 2))$

Schritt 1.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$f'' (x) = - 4 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 2))$

Schritt 1.1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 2$ .

$f'' (x) = - 4 (- 2 {(x - 2)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 2))$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = 8 ({(x - 2)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 2))$

Schritt 1.1.2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = 8 {(x - 2)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))$

Schritt 1.1.2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 8 {(x - 2)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (- 2))$

Schritt 1.1.2.3.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 8 {(x - 2)}^{- 3} (1 + 0)$

Schritt 1.1.2.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = 8 {(x - 2)}^{- 3} \cdot 1$

Schritt 1.1.2.3.5.2

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$f'' (x) = 8 {(x - 2)}^{- 3}$

Schritt 1.1.2.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{1}{{(x - 2)}^{3}})$

Schritt 1.1.2.4.2

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{{(x - 2)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{{(x - 2)}^{3}}$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{8}{{(x - 2)}^{3}}$ .

$\frac{8}{{(x - 2)}^{3}}$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{8}{{(x - 2)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{8}{{(x - 2)}^{3}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$8 = 0$

Schritt 1.2.3

Da $8 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{x + 2}{x - 2}$ .

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Schritt 2.1

Setze den Nenner in $\frac{x + 2}{x - 2}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 2 = 0$

Schritt 2.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 2}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 2}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, 2)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = \frac{8}{{((0) - 2)}^{3}}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1.1

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$f'' (0) = \frac{8}{{(- 2)}^{3}}$

Schritt 4.2.1.2

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$f'' (0) = \frac{8}{- 8}$

Schritt 4.2.2

Dividiere $8$ durch $- 8$ .

$f'' (0) = - 1$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$- 1$

Schritt 4.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, 2)$ konkav, weil $f'' (0)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, 2)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(2, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f'' (4) = \frac{8}{{((4) - 2)}^{3}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1.1

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$f'' (4) = \frac{8}{2^{3}}$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f'' (4) = \frac{8}{8}$

Schritt 5.2.2

Dividiere $8$ durch $8$ .

$f'' (4) = 1$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(2, \infty)$ konvex, weil $f'' (4)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(2, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 6

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, 2)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(2, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 7