Analysis Beispiele

Bestimme die Konkavität f(x)=3x^4+8x^3
Schritt 1
Find the values where the second derivative is equal to .
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Schritt 1.1
Bestimme die zweite Ableitung.
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Schritt 1.1.1
Bestimme die erste Ableitung.
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Schritt 1.1.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.1.1.2
Berechne .
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Schritt 1.1.1.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.1.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.1.3
Berechne .
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Schritt 1.1.1.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.1.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.1.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.2
Bestimme die zweite Ableitung.
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Schritt 1.1.2.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.1.2.2
Berechne .
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Schritt 1.1.2.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.2.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.2.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.2.3
Berechne .
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Schritt 1.1.2.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.2.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.2.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.3
Die zweite Ableitung von nach ist .
Schritt 1.2
Setze die zweite Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
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Schritt 1.2.1
Setze die zweite Ableitung gleich .
Schritt 1.2.2
Faktorisiere aus heraus.
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Schritt 1.2.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.2.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.2.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.3
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 1.2.4
Setze gleich .
Schritt 1.2.5
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 1.2.5.1
Setze gleich .
Schritt 1.2.5.2
Löse nach auf.
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Schritt 1.2.5.2.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.2.5.2.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 1.2.5.2.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 1.2.5.2.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 1.2.5.2.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.2.5.2.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.5.2.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 1.2.5.2.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 1.2.5.2.2.3.1
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 1.2.6
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
Schritt 2
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Intervallschreibweise:
Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:
Schritt 3
Erzeuge Intervalle um die -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.
Schritt 4
Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.
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Schritt 4.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 4.2
Vereinfache das Ergebnis.
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Schritt 4.2.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 4.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 4.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 4.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 4.3
Der Graph ist im Intervall konvex, weil positiv ist.
Konvex im Intervall , da positiv ist
Konvex im Intervall , da positiv ist
Schritt 5
Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.
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Schritt 5.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 5.2
Vereinfache das Ergebnis.
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Schritt 5.2.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 5.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 5.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.2.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 5.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 5.3
Der Graph ist im Intervall konkav, weil negativ ist.
Konkav im Intervall , da negativ ist
Konkav im Intervall , da negativ ist
Schritt 6
Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.
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Schritt 6.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 6.2
Vereinfache das Ergebnis.
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Schritt 6.2.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 6.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 6.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.2
Addiere und .
Schritt 6.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 6.3
Der Graph ist im Intervall konvex, weil positiv ist.
Konvex im Intervall , da positiv ist
Konvex im Intervall , da positiv ist
Schritt 7
Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.
Konvex im Intervall , da positiv ist
Konkav im Intervall , da negativ ist
Konvex im Intervall , da positiv ist
Schritt 8