Analysis Beispiele

$e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

Schritt 1

Schreibe $e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ als Funktion.

$f (x) = e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

Schritt 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - \frac{x^{2}}{32}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- \frac{x^{2}}{32}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]$

Schritt 2.1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]$

Schritt 2.1.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $- \frac{x^{2}}{32}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]$

Schritt 2.1.1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.2.1

Da $- \frac{1}{32}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x^{2}}{32}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{32}} (- \frac{1}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.1.1.2.2

Kombiniere $e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ und $\frac{1}{32}$ .

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} (2 x)$

Schritt 2.1.1.2.4

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.2.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} x$

Schritt 2.1.1.2.4.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32}$ .

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} x$

Schritt 2.1.1.2.4.3

Kombiniere $\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32}$ und $x$ .

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{32}} x}{32}$

Schritt 2.1.1.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $32$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.2.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 e^{- \frac{x^{2}}{32}} x$ heraus.

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{32}} x)}{32}$

Schritt 2.1.1.2.4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.2.4.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $32$ heraus.

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{32}} x)}{2 (16)}$

Schritt 2.1.1.2.4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{32}} x)}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.1.1.2.4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- e^{- \frac{x^{2}}{32}} x}{16}$

Schritt 2.1.1.2.4.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.2.4.5.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}} x}{16}$

Schritt 2.1.1.2.4.5.2

Stelle die Faktoren in $e^{- \frac{x^{2}}{32}} x$ um.

$f' (x) = - \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$

Schritt 2.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Da $- \frac{1}{16}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{32}}]$ .

$- \frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{32}}]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ .

$- \frac{1}{16} (x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{32}}] + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - \frac{x^{2}}{32}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- \frac{x^{2}}{32}$ .

$- \frac{1}{16} (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- \frac{1}{16} (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.1.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $- \frac{x^{2}}{32}$ .

$- \frac{1}{16} (x (e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.1.2.4

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.4.1

Da $- \frac{1}{32}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x^{2}}{32}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{16} (x (e^{- \frac{x^{2}}{32}} (- \frac{1}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.1.2.4.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.4.2.1

Kombiniere $e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ und $\frac{1}{32}$ .

$- \frac{1}{16} (x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.1.2.4.2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32}$ .

$- \frac{1}{16} (- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.1.2.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{1}{16} (- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.1.2.4.4

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.4.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{16} (- 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} x + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.1.2.4.4.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32}$ .

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} x + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.1.2.4.4.3

Kombiniere $\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32}$ und $x$ .

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{32}}) x}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.1.2.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x^{1} x e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.1.2.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x^{1} x^{1} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.1.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.1.2.8

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.8.1

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.1.2.8.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $32$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ heraus.

$- \frac{1}{16} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.1.2.8.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.8.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $32$ heraus.

$- \frac{1}{16} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{2 (16)} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.1.2.8.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{16} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{2 \cdot 16} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.1.2.8.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{16} (\frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.1.2.8.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{16} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.1.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{1}{16} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \cdot 1)$

Schritt 2.1.2.10

Mutltipliziere $e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{16} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} + e^{- \frac{x^{2}}{32}})$

Schritt 2.1.2.11

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1}{16} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}) - \frac{1}{16} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

Schritt 2.1.2.11.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.11.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{1}{16}) \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} - \frac{1}{16} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

Schritt 2.1.2.11.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{16}$ mit $1$ .

$\frac{1}{16} \cdot \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} - \frac{1}{16} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

Schritt 2.1.2.11.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{16}$ mit $\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$ .

$\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16 \cdot 16} - \frac{1}{16} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

Schritt 2.1.2.11.2.4

Mutltipliziere $16$ mit $16$ .

$\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{1}{16} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

Schritt 2.1.2.11.2.5

Kombiniere $e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ und $\frac{1}{16}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$

Schritt 2.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$ .

$\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$

Schritt 2.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} = 0$

Schritt 2.2.2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x = - 4, 4$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 4

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, - 4)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 6$ .

$f'' (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2} e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Bringe $e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2}}{256 e^{\frac{{(- 6)}^{2}}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2}}{256 e^{\frac{36}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Schritt 5.2.1.3

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{36}{256 e^{\frac{36}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Schritt 5.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $36$ und $32$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $36$ heraus.

$f'' (- 6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 (9)}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Schritt 5.2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $32$ heraus.

$f'' (- 6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Schritt 5.2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- 6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Schritt 5.2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- 6) = \frac{36}{256 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Schritt 5.2.1.5

Faktorisiere $4$ aus $36$ heraus.

$f'' (- 6) = \frac{4 (9)}{256 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Schritt 5.2.1.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $256 e^{\frac{9}{8}}$ heraus.

$f'' (- 6) = \frac{4 (9)}{4 (64 e^{\frac{9}{8}})} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Schritt 5.2.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- 6) = \frac{4 \cdot 9}{4 (64 e^{\frac{9}{8}})} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Schritt 5.2.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Schritt 5.2.1.7

Bringe $e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}$

Schritt 5.2.1.8

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{36}{32}}}$

Schritt 5.2.1.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $36$ und $32$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.9.1

Faktorisiere $4$ aus $36$ heraus.

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 (9)}{32}}}$

Schritt 5.2.1.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.9.2.1

Faktorisiere $4$ aus $32$ heraus.

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}}$

Schritt 5.2.1.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}}$

Schritt 5.2.1.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$

Schritt 5.2.2

Um $- \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 5.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $64 e^{\frac{9}{8}}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{4}{16 e^{\frac{9}{8}} \cdot 4}$

Schritt 5.2.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $16$ .

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{4}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

Schritt 5.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (- 6) = \frac{9 - 4}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

Schritt 5.2.5

Subtrahiere $4$ von $9$ .

$f'' (- 6) = \frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

Schritt 5.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$ .

$\frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, - 4)$ konvex, weil $f'' (- 6)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, - 4)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- 4, 4)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = \frac{{(0)}^{2} e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = \frac{0^{2} e^{- \frac{0}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

Schritt 6.2.1.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 e^{- \frac{0}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

Schritt 6.2.1.2.2

Dividiere $0$ durch $32$ .

$f'' (0) = \frac{0 e^{- 0}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

Schritt 6.2.1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 e^{0}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

Schritt 6.2.1.2.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$f'' (0) = \frac{0 \cdot 1}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$f'' (0) = \frac{0}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

Schritt 6.2.1.4

Dividiere $0$ durch $256$ .

$f'' (0) = 0 - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

Schritt 6.2.1.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = 0 - \frac{e^{- \frac{0}{32}}}{16}$

Schritt 6.2.1.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.6.1

Dividiere $0$ durch $32$ .

$f'' (0) = 0 - \frac{e^{- 0}}{16}$

Schritt 6.2.1.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f'' (0) = 0 - \frac{e^{0}}{16}$

Schritt 6.2.1.6.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$f'' (0) = 0 - \frac{1}{16}$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $\frac{1}{16}$ von $0$ .

$f'' (0) = - \frac{1}{16}$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{16}$ .

$- \frac{1}{16}$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(- 4, 4)$ konkav, weil $f'' (0)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- 4, 4)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 7

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(4, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f'' (6) = \frac{{(6)}^{2} e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Bringe $e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (6) = \frac{{(6)}^{2}}{256 e^{\frac{6^{2}}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Schritt 7.2.1.2

Potenziere $6$ mit $2$ .

$f'' (6) = \frac{6^{2}}{256 e^{\frac{36}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Schritt 7.2.1.3

Potenziere $6$ mit $2$ .

$f'' (6) = \frac{36}{256 e^{\frac{36}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Schritt 7.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $36$ und $32$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $36$ heraus.

$f'' (6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 (9)}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Schritt 7.2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $32$ heraus.

$f'' (6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Schritt 7.2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Schritt 7.2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (6) = \frac{36}{256 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Schritt 7.2.1.5

Faktorisiere $4$ aus $36$ heraus.

$f'' (6) = \frac{4 (9)}{256 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Schritt 7.2.1.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $256 e^{\frac{9}{8}}$ heraus.

$f'' (6) = \frac{4 (9)}{4 (64 e^{\frac{9}{8}})} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Schritt 7.2.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (6) = \frac{4 \cdot 9}{4 (64 e^{\frac{9}{8}})} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Schritt 7.2.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Schritt 7.2.1.7

Bringe $e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{6^{2}}{32}}}$

Schritt 7.2.1.8

Potenziere $6$ mit $2$ .

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{36}{32}}}$

Schritt 7.2.1.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $36$ und $32$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.9.1

Faktorisiere $4$ aus $36$ heraus.

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 (9)}{32}}}$

Schritt 7.2.1.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.9.2.1

Faktorisiere $4$ aus $32$ heraus.

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}}$

Schritt 7.2.1.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}}$

Schritt 7.2.1.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$

Schritt 7.2.2

Um $- \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 7.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $64 e^{\frac{9}{8}}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{4}{16 e^{\frac{9}{8}} \cdot 4}$

Schritt 7.2.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $16$ .

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{4}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

Schritt 7.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (6) = \frac{9 - 4}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

Schritt 7.2.5

Subtrahiere $4$ von $9$ .

$f'' (6) = \frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

Schritt 7.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$ .

$\frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

Schritt 7.3

Der Graph ist im Intervall $(4, \infty)$ konvex, weil $f'' (6)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(4, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 8

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, - 4)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konkav im Intervall $(- 4, 4)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(4, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 9