Analysis Beispiele

$y = 2 x^{3} - 24 x - 5$

Schritt 1

Schreibe $y = 2 x^{3} - 24 x - 5$ als Funktion.

$f (x) = 2 x^{3} - 24 x - 5$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{3} - 24 x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 2.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 24 x$ nach $x$ gleich $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 x^{2} - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $- 24$ mit $1$ .

$6 x^{2} - 24 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.4.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 x^{2} - 24 + 0$

Schritt 2.1.4.2

Addiere $6 x^{2} - 24$ und $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 24$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x^{2} - 24$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24]$

Schritt 2.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{2}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24]$

Schritt 2.2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [- 24]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.2.3.1

Da $- 24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 24$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$12 x + 0$

Schritt 2.2.3.2

Addiere $12 x$ und $0$ .

$f'' (x) = 12 x$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $12 x$ .

$12 x$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $12 x = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$12 x = 0$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $12 x = 0$ durch $12$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $12 x = 0$ durch $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{12}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Dividiere $0$ durch $12$ .

$x = 0$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $0$ in $f (x) = 2 x^{3} - 24 x - 5$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = 2 {(0)}^{3} - 24 \cdot 0 - 5$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0 - 24 \cdot 0 - 5$

Schritt 4.1.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$f (0) = 0 - 24 \cdot 0 - 5$

Schritt 4.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 24$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 5$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.1.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0 - 5$

Schritt 4.1.2.2.2

Subtrahiere $5$ von $0$ .

$f (0) = - 5$

Schritt 4.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 5$ .

$- 5$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0$ in $f (x) = 2 x^{3} - 24 x - 5$ ermittelt werden kann, ist $(0, - 5)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0, - 5)$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = 12 (- 0.1)$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $12$ mit $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 1.2$

Schritt 6.2.2

Die endgültige Lösung ist $- 1.2$ .

$- 1.2$

Schritt 6.3

Bei $- 0.1$ , die zweite Ableitung ist $- 1.2$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, 0)$

Abfallend im Intervall $(- \infty, 0)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.1$ .

$f'' (0.1) = 12 (0.1)$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $12$ mit $0.1$ .

$f'' (0.1) = 1.2$

Schritt 7.2.2

Die endgültige Lösung ist $1.2$ .

$1.2$

Schritt 7.3

Bei $0.1$ ist die zweite Ableitung $1.2$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(0, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(0, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(0, - 5)$ .

$(0, - 5)$

Schritt 9