Analysis Beispiele

$y = x^{4} - 6 x^{2}$

Schritt 1

Schreibe $y = x^{4} - 6 x^{2}$ als Funktion.

$f (x) = x^{4} - 6 x^{2}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 6 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Schritt 2.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} x^{2}$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 (2 x)$

Schritt 2.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} - 12 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Schritt 2.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Schritt 2.2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Schritt 2.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Schritt 2.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Schritt 2.2.3.1

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12 x$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 \cdot 1$

Schritt 2.2.3.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $12 x^{2} - 12$ .

$12 x^{2} - 12$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $12 x^{2} - 12 = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$12 x^{2} - 12 = 0$

Schritt 3.2

Addiere $12$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$12 x^{2} = 12$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $12 x^{2} = 12$ durch $12$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $12 x^{2} = 12$ durch $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{12}{12}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Dividiere $12$ durch $12$ .

$x^{2} = 1$

Schritt 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Schritt 3.5

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Schritt 3.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 3.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 3.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $1$ in $f (x) = x^{4} - 6 x^{2}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = {(1)}^{4} - 6 {(1)}^{2}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 1 - 6 {(1)}^{2}$

Schritt 4.1.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 1 - 6 \cdot 1$

Schritt 4.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$f (1) = 1 - 6$

Schritt 4.1.2.2

Subtrahiere $6$ von $1$ .

$f (1) = - 5$

Schritt 4.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 5$ .

$- 5$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $1$ in $f (x) = x^{4} - 6 x^{2}$ ermittelt werden kann, ist $(1, - 5)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(1, - 5)$

Schritt 4.3

Ersetze $- 1$ in $f (x) = x^{4} - 6 x^{2}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} - 6 {(- 1)}^{2}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- 1) = 1 - 6 {(- 1)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- 1) = 1 - 6 \cdot 1$

Schritt 4.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$f (- 1) = 1 - 6$

Schritt 4.3.2.2

Subtrahiere $6$ von $1$ .

$f (- 1) = - 5$

Schritt 4.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 5$ .

$- 5$

Schritt 4.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 1$ in $f (x) = x^{4} - 6 x^{2}$ ermittelt werden kann, ist $(- 1, - 5)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 1, - 5)$

Schritt 4.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(1, - 5), (- 1, - 5)$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 1)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = 12 {(- 1.1)}^{2} - 12$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 1.1$ mit $2$ .

$f'' (- 1.1) = 12 \cdot 1.21 - 12$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = 14.52 - 12$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $12$ von $14.52$ .

$f'' (- 1.1) = 2.52$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $2.52$ .

$2.52$

Schritt 6.3

Bei $- 1.1$ ist die zweite Ableitung $2.52$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, - 1)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 1)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 1, 1)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 12$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 12$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $0$ .

$f'' (0) = 0 - 12$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $12$ von $0$ .

$f'' (0) = - 12$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 12$ .

$- 12$

Schritt 7.3

Bei $0$ , die zweite Ableitung ist $- 12$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- 1, 1)$

Abfallend im Intervall $(- 1, 1)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(1, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.1$ .

$f'' (1.1) = 12 {(1.1)}^{2} - 12$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $1.1$ mit $2$ .

$f'' (1.1) = 12 \cdot 1.21 - 12$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $1.21$ .

$f'' (1.1) = 14.52 - 12$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere $12$ von $14.52$ .

$f'' (1.1) = 2.52$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $2.52$ .

$2.52$

Schritt 8.3

Bei $1.1$ ist die zweite Ableitung $2.52$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(1, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(1, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 1, - 5), (1, - 5)$ .

$(- 1, - 5), (1, - 5)$

Schritt 10