Analysis Beispiele

$5 - 2 x y = 7 x - 3 y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (5 - 2 x y) = \frac{d}{d x} (7 x - 3 y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 - 2 x y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Schritt 2.1.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x y$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$0 - 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$0 - 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 2 (x y' + y \cdot 1)$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$0 - 2 (x y' + y)$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$0 - 2 (x y') - 2 y$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $- (- 2 x y' - 2 y)$ von $0$ .

$- 2 x y' - 2 y$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 x - 3 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 y$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$7 - 3 \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$7 - 3 y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 2 x y' - 2 y = 7 - 3 y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Addiere $3 y'$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x y' - 2 y + 3 y' = 7$

Schritt 5.2

Addiere $2 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x y' + 3 y' = 7 + 2 y$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y'$ aus $- 2 x y' + 3 y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $- 2 x y'$ heraus.

$y' (- 2 x) + 3 y' = 7 + 2 y$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $3 y'$ heraus.

$y' (- 2 x) + y' \cdot 3 = 7 + 2 y$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 2 x) + y' \cdot 3$ heraus.

$y' (- 2 x + 3) = 7 + 2 y$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 2 x + 3) = 7 + 2 y$ durch $- 2 x + 3$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 2 x + 3) = 7 + 2 y$ durch $- 2 x + 3$ .

$\frac{y' (- 2 x + 3)}{- 2 x + 3} = \frac{7}{- 2 x + 3} + \frac{2 y}{- 2 x + 3}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2 x + 3$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- 2 x + 3)}{- 2 x + 3} = \frac{7}{- 2 x + 3} + \frac{2 y}{- 2 x + 3}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{7}{- 2 x + 3} + \frac{2 y}{- 2 x + 3}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{7 + 2 y}{- 2 x + 3}$

Schritt 5.4.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$y' = \frac{7 + 2 y}{- (2 x) + 3}$

Schritt 5.4.3.3

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$y' = \frac{7 + 2 y}{- (2 x) - 1 (- 3)}$

Schritt 5.4.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - 1 (- 3)$ heraus.

$y' = \frac{7 + 2 y}{- (2 x - 3)}$

Schritt 5.4.3.5

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 5.4.3.5.1

Schreibe $- (2 x - 3)$ als $- 1 (2 x - 3)$ um.

$y' = \frac{7 + 2 y}{- 1 (2 x - 3)}$

Schritt 5.4.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{7 + 2 y}{2 x - 3}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{7 + 2 y}{2 x - 3}$