Analysis Beispiele

$f (x) = x^{4} - 2 x^{2}$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 2 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Schritt 1.1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} x^{2}$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 (2 x)$

Schritt 1.1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} - 4 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Schritt 1.1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Schritt 1.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Schritt 1.1.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Schritt 1.1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} x$

Schritt 1.1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 \cdot 1$

Schritt 1.1.2.3.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $12 x^{2} - 4$ .

$12 x^{2} - 4$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $12 x^{2} - 4 = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$12 x^{2} - 4 = 0$

Schritt 1.2.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$12 x^{2} = 4$

Schritt 1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $12 x^{2} = 4$ durch $12$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $12 x^{2} = 4$ durch $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{4}{12}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{4}{12}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{12}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$x^{2} = \frac{4 (1)}{12}$

Schritt 1.2.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x^{2} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = \frac{1}{3}$

Schritt 1.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Schritt 1.2.5.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Schritt 1.2.5.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 1.2.5.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 1.2.5.4.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 1.2.5.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 1.2.5.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.2.5.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 1.2.5.4.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.2.5.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.2.5.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.5.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.5.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 1.2.5.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 1.2.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 1.2.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 1.2.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 2

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f'' (- 3) = 12 {(- 3)}^{2} - 4$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f'' (- 3) = 12 \cdot 9 - 4$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $9$ .

$f'' (- 3) = 108 - 4$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $4$ von $108$ .

$f'' (- 3) = 104$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $104$ .

$104$

Schritt 4.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ konvex, weil $f'' (- 3)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 4$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 4$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $0$ .

$f'' (0) = 0 - 4$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$f'' (0) = - 4$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 4$ .

$- 4$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ konkav, weil $f'' (0)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f'' (3) = 12 {(3)}^{2} - 4$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f'' (3) = 12 \cdot 9 - 4$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $9$ .

$f'' (3) = 108 - 4$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $4$ von $108$ .

$f'' (3) = 104$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $104$ .

$104$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ konvex, weil $f'' (3)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 7

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konkav im Intervall $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 8