Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{x}$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Schritt 1.1.1.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$- \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.1.2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.2.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$- (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.2.2.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.2.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 1.1.2.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.2.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2}}$ mit $0$ .

$2 x^{- 3} + 0$

Schritt 1.1.2.2.6.2

Addiere $2 x^{- 3}$ und $0$ .

$2 x^{- 3}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.2.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 1.1.2.3.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2}{x^{3}}$ .

$\frac{2}{x^{3}}$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2}{x^{3}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{2}{x^{3}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 = 0$

Schritt 1.2.3

Da $2 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{1}{x}$ .

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Schritt 2.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 2.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{2}{{(- 2)}^{3}}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und ${(- 2)}^{3}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$f'' (- 2) = \frac{- 1 \cdot - 2}{{(- 2)}^{3}}$

Schritt 4.2.1.2

Faktorisiere $- 2$ aus $- 1 (- 2)$ heraus.

$f'' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 1}{{(- 2)}^{3}}$

Schritt 4.2.1.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1.3.1

Faktorisiere $- 2$ aus ${(- 2)}^{3}$ heraus.

$f'' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 {(- 2)}^{2}}$

Schritt 4.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 {(- 2)}^{2}}$

Schritt 4.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- 2) = \frac{- 1}{{(- 2)}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.2.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 1}{4}$

Schritt 4.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (- 2) = - \frac{1}{4}$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4}$

Schritt 4.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, 0)$ konkav, weil $f'' (- 2)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, 0)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f'' (2) = \frac{2}{{(2)}^{3}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und ${(2)}^{3}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f'' (2) = \frac{2 (1)}{{(2)}^{3}}$

Schritt 5.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus ${(2)}^{3}$ heraus.

$f'' (2) = \frac{2 (1)}{2 \cdot 2^{2}}$

Schritt 5.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2^{2}}$

Schritt 5.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (2) = \frac{1}{2^{2}}$

Schritt 5.2.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f'' (2) = \frac{1}{4}$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(0, \infty)$ konvex, weil $f'' (2)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(0, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 6

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, 0)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(0, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 7