Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Schreibe $\frac{1}{1 + x^{2}}$ als ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ um.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(1 + x^{2})}^{- 1})$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 + x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2})$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (1 + x^{2})$

Schritt 1.1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + x^{2}$ .

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} (1 + x^{2})$

Schritt 1.1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Schritt 1.1.1.3.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Schritt 1.1.1.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}$

Schritt 1.1.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Schritt 1.1.1.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = - 2 {(1 + x^{2})}^{- 2} x$

Schritt 1.1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 2 \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}} \cdot x$

Schritt 1.1.1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.1.4.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2}{{(1 + x^{2})}^{2}} \cdot x$

Schritt 1.1.1.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}} \cdot x$

Schritt 1.1.1.4.2.3

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{x \cdot 2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.4.2.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(1 + x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{({(1 + x^{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.1.2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(1 + x^{2})}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Schritt 1.1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Schritt 1.1.2.3.3

Mutltipliziere ${(1 + x^{2})}^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 + x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x (2 (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.1.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.2

Faktorisiere $1 + x^{2}$ aus ${(1 + x^{2})}^{2} - 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$ heraus.

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Schritt 1.1.2.5.2.1

Faktorisiere $1 + x^{2}$ aus ${(1 + x^{2})}^{2}$ heraus.

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2}) - 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.2.2

Faktorisiere $1 + x^{2}$ aus $- 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$ heraus.

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2}) + (1 + x^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2})))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.2.3

Faktorisiere $1 + x^{2}$ aus $(1 + x^{2}) (1 + x^{2}) + (1 + x^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))$ heraus.

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2})))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Schritt 1.1.2.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.6.1

Faktorisiere $1 + x^{2}$ aus ${(1 + x^{2})}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2})))}{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 1.1.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2})))}{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 1.1.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 1.1.2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 1.1.2.8

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (0 + \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 1.1.2.9

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x \frac{d}{d x} x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 1.1.2.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 1.1.2.11

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 1.1.2.12

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 (x \cdot x)}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 1.1.2.13

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 (x \cdot x)}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 1.1.2.14

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 x^{1 + 1}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 1.1.2.15

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 1.1.2.16

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 - 3 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 1.1.2.17

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1 - 3 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 1.1.2.18

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{(2) (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 1.1.2.19

Vereinfache.

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Schritt 1.1.2.19.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot 1 + 2 (- 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 1.1.2.19.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.19.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 + 2 (- 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 1.1.2.19.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 - 6 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 1.1.2.19.3

Faktorisiere $2$ aus $2 - 6 x^{2}$ heraus.

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Schritt 1.1.2.19.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{2 (1) - 6 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 1.1.2.19.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{2 (1) + 2 (- 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 1.1.2.19.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (1) + 2 (- 3 x^{2})$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$ .

$- \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 (1 - 3 x^{2}) = 0$

Schritt 1.2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (1 - 3 x^{2}) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (1 - 3 x^{2}) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (1 - 3 x^{2})}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 1.2.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (1 - 3 x^{2})}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 1.2.3.1.2.1.2

Dividiere $1 - 3 x^{2}$ durch $1$ .

$1 - 3 x^{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 1.2.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$1 - 3 x^{2} = 0$

Schritt 1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x^{2} = - 1$

Schritt 1.2.3.3

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x^{2} = - 1$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x^{2} = - 1$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Schritt 1.2.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 1.2.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Schritt 1.2.3.3.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 3}$

Schritt 1.2.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x^{2} = \frac{1}{3}$

Schritt 1.2.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.2.3.5

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 1.2.3.5.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Schritt 1.2.3.5.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Schritt 1.2.3.5.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 1.2.3.5.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.3.5.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 1.2.3.5.4.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 1.2.3.5.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 1.2.3.5.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.2.3.5.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 1.2.3.5.4.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 1.2.3.5.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.2.3.5.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.2.3.5.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.3.5.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.5.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.3.5.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 1.2.3.5.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 1.2.3.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.3.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 1.2.3.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 1.2.3.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{1 + x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$1 + x^{2} = 0$

Schritt 2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 1$

Schritt 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i$

Schritt 2.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i$

Schritt 2.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i$

Schritt 2.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i, - i$

Schritt 2.3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 (1 - 3 {(- 3)}^{2})}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Multipliziere $- 3$ mit ${(- 3)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit ${(- 3)}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Potenziere $- 3$ mit $1$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 (1 + (- 3) {(- 3)}^{2})}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

Schritt 4.2.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (- 3) = - \frac{2 (1 + {(- 3)}^{1 + 2})}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

Schritt 4.2.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 (1 + {(- 3)}^{3})}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 (1 - 27)}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $27$ von $1$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot - 26}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot - 26}{{(1 + 9)}^{3}}$

Schritt 4.2.3.2

Addiere $1$ und $9$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot - 26}{10^{3}}$

Schritt 4.2.3.3

Potenziere $10$ mit $3$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot - 26}{1000}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 26$ .

$f'' (- 3) = - \frac{- 52}{1000}$

Schritt 4.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 52$ und $1000$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 52$ heraus.

$f'' (- 3) = - \frac{4 (- 13)}{1000}$

Schritt 4.2.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $1000$ heraus.

$f'' (- 3) = - \frac{4 \cdot - 13}{4 \cdot 250}$

Schritt 4.2.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- 3) = - \frac{4 \cdot - 13}{4 \cdot 250}$

Schritt 4.2.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- 3) = - \frac{- 13}{250}$

Schritt 4.2.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (- 3) = \frac{13}{250}$

Schritt 4.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{13}{250}$ .

$\frac{13}{250}$

Schritt 4.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ konvex, weil $f'' (- 3)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (1 - 3 {(0)}^{2})}{{(1 + {(0)}^{2})}^{3}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (1 - 3 \cdot 0)}{{(1 + 0^{2})}^{3}}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (1 + 0)}{{(1 + 0^{2})}^{3}}$

Schritt 5.2.1.3

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot 1}{{(1 + 0^{2})}^{3}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot 1}{{(1 + 0)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot 1}{1^{3}}$

Schritt 5.2.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot 1}{1}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (0) = - \frac{2}{1}$

Schritt 5.2.3.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$f'' (0) = - 1 \cdot 2$

Schritt 5.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (0) = - 2$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 2$ .

$- 2$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ konkav, weil $f'' (0)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f'' (3) = - \frac{2 (1 - 3 {(3)}^{2})}{{(1 + {(3)}^{2})}^{3}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f'' (3) = - \frac{2 (1 - 3 \cdot 9)}{{(1 + 3^{2})}^{3}}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $9$ .

$f'' (3) = - \frac{2 (1 - 27)}{{(1 + 3^{2})}^{3}}$

Schritt 6.2.1.3

Subtrahiere $27$ von $1$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot - 26}{{(1 + 3^{2})}^{3}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot - 26}{{(1 + 9)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $1$ und $9$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot - 26}{10^{3}}$

Schritt 6.2.2.3

Potenziere $10$ mit $3$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot - 26}{1000}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 26$ .

$f'' (3) = - \frac{- 52}{1000}$

Schritt 6.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 52$ und $1000$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 52$ heraus.

$f'' (3) = - \frac{4 (- 13)}{1000}$

Schritt 6.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $1000$ heraus.

$f'' (3) = - \frac{4 \cdot - 13}{4 \cdot 250}$

Schritt 6.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (3) = - \frac{4 \cdot - 13}{4 \cdot 250}$

Schritt 6.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (3) = - \frac{- 13}{250}$

Schritt 6.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (3) = \frac{13}{250}$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{13}{250}$ .

$\frac{13}{250}$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ konvex, weil $f'' (3)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 7

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konkav im Intervall $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 8