Gib eine Aufgabe ein ...
Analysis Beispiele
Schritt 1
Schritt 1.1
Bestimme die zweite Ableitung.
Schritt 1.1.1
Bestimme die erste Ableitung.
Schritt 1.1.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.1.1.2
Berechne .
Schritt 1.1.1.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.1.2.3
Kombiniere und .
Schritt 1.1.1.2.4
Kombiniere und .
Schritt 1.1.1.2.5
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Schritt 1.1.1.2.5.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.1.1.2.5.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Schritt 1.1.1.2.5.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.1.1.2.5.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.1.1.2.5.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.1.1.2.5.2.4
Dividiere durch .
Schritt 1.1.1.3
Berechne .
Schritt 1.1.1.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.1.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.1.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.2
Bestimme die zweite Ableitung.
Schritt 1.1.2.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.1.2.2
Berechne .
Schritt 1.1.2.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.2.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.2.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.2.3
Berechne .
Schritt 1.1.2.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.2.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.2.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.3
Die zweite Ableitung von nach ist .
Schritt 1.2
Setze die zweite Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
Schritt 1.2.1
Setze die zweite Ableitung gleich .
Schritt 1.2.2
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.2.3
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Schritt 1.2.3.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 1.2.3.2
Vereinfache die linke Seite.
Schritt 1.2.3.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 1.2.3.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.3.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 1.2.3.3
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 1.2.3.3.1
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Schritt 1.2.3.3.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.3.3.1.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Schritt 1.2.3.3.1.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.3.3.1.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.3.3.1.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.2.4
Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.
Schritt 1.2.5
Vereinfache .
Schritt 1.2.5.1
Schreibe als um.
Schritt 1.2.5.2
Vereinfache den Zähler.
Schritt 1.2.5.2.1
Schreibe als um.
Schritt 1.2.5.2.2
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 1.2.5.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.5.4
Vereinige und vereinfache den Nenner.
Schritt 1.2.5.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.5.4.2
Potenziere mit .
Schritt 1.2.5.4.3
Potenziere mit .
Schritt 1.2.5.4.4
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 1.2.5.4.5
Addiere und .
Schritt 1.2.5.4.6
Schreibe als um.
Schritt 1.2.5.4.6.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 1.2.5.4.6.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 1.2.5.4.6.3
Kombiniere und .
Schritt 1.2.5.4.6.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 1.2.5.4.6.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.5.4.6.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.2.5.4.6.5
Berechne den Exponenten.
Schritt 1.2.6
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Schritt 1.2.6.1
Verwende zunächst den positiven Wert des , um die erste Lösung zu finden.
Schritt 1.2.6.2
Als Nächstes verwende den negativen Wert von , um die zweite Lösung zu finden.
Schritt 1.2.6.3
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Schritt 2
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Intervallschreibweise:
Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:
Schritt 3
Erzeuge Intervalle um die -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.
Schritt 4
Schritt 4.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 4.2
Vereinfache das Ergebnis.
Schritt 4.2.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 4.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 4.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 4.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 4.3
Der Graph ist im Intervall konvex, weil positiv ist.
Konvex im Intervall , da positiv ist
Konvex im Intervall , da positiv ist
Schritt 5
Schritt 5.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 5.2
Vereinfache das Ergebnis.
Schritt 5.2.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 5.2.1.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 5.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 5.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 5.3
Der Graph ist im Intervall konkav, weil negativ ist.
Konkav im Intervall , da negativ ist
Konkav im Intervall , da negativ ist
Schritt 6
Schritt 6.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 6.2
Vereinfache das Ergebnis.
Schritt 6.2.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 6.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 6.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 6.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 6.3
Der Graph ist im Intervall konvex, weil positiv ist.
Konvex im Intervall , da positiv ist
Konvex im Intervall , da positiv ist
Schritt 7
Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.
Konvex im Intervall , da positiv ist
Konkav im Intervall , da negativ ist
Konvex im Intervall , da positiv ist
Schritt 8