Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 4}$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} + 1$ und $g (x) = x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} - 4) x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.7

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.2.8.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} + 1) (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 4) x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 4 x) - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 4 x) + (- 2 x^{2} - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{2} x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.3.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{2} x + 2 \cdot - 4 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot 1 x$ .

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Schritt 1.1.1.3.5.1.1

Subtrahiere $2 x^{2} x$ von $2 x^{2} x$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot (- 4 x) + 0 - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5.1.2

Addiere $2 \cdot - 4 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot (- 4 x) - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.3.5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$f' (x) = \frac{- 8 x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{- 8 x - 2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5.3

Subtrahiere $2 x$ von $- 8 x$ .

$f' (x) = \frac{- 10 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{10 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.1.3.7.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f' (x) = - \frac{10 x}{{(x^{2} - 2^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.7.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$f' (x) = - \frac{10 x}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.7.3

Wende die Produktregel auf $(x + 2) (x - 2)$ an.

$f' (x) = - \frac{10 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.2.1

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{10 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ nach $x$ gleich $- 10 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.1.2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3.2

Mutltipliziere ${(x + 2)}^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = {(x + 2)}^{2}$ und $g (x) = {(x - 2)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x ({(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x - 2$ .

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Schritt 1.1.2.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x - 2$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x ({(x + 2)}^{2} (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x ({(x + 2)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.5.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x - 2$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x ({(x + 2)}^{2} (2 (x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.6.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x + 2)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 \cdot ({(x + 2)}^{2} (x - 2)) \frac{d}{d x} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) (1 + 0) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.6.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) \cdot 1 + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x + 2$ .

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Schritt 1.1.2.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x + 2$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.7.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x + 2$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} (2 (x + 2) \frac{d}{d x} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.8.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x - 2)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 \cdot ({(x - 2)}^{2} (x + 2)) \frac{d}{d x} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} (2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2) (1 + 0))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8.5

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.2.8.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2) \cdot 1)}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8.5.3

Kombiniere $- 10$ und $\frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 10 ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8.5.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{(10) ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9

Vereinfache.

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Schritt 1.1.2.9.1

Wende die Produktregel auf ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ an.

$f'' (x) = - \frac{10 ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{10 ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2)) - x (2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{10 ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}) + 10 (- x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2))) + 10 (- x (2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.9.4.1

Faktorisiere $10 (x + 2) (x - 2)$ aus $10 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 10 (- x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2))) + 10 (- x (2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))$ heraus.

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Schritt 1.1.2.9.4.1.1

Faktorisiere $10 (x + 2) (x - 2)$ aus $10 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2)) + 10 (- x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2))) + 10 (- x (2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.1.2

Faktorisiere $10 (x + 2) (x - 2)$ aus $10 (- x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2)))$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2)) + 10 (x + 2) (x - 2) (- x (2 (x + 2))) + 10 (- x (2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.1.3

Faktorisiere $10 (x + 2) (x - 2)$ aus $10 (- x (2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2)) + 10 (x + 2) (x - 2) (- x (2 (x + 2))) + 10 (x + 2) (x - 2) (- x (2 (x - 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.1.4

Faktorisiere $10 (x + 2) (x - 2)$ aus $10 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2)) + 10 (x + 2) (x - 2) (- x (2 (x + 2)))$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2) - x (2 (x + 2))) + 10 (x + 2) (x - 2) (- x (2 (x - 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.1.5

Faktorisiere $10 (x + 2) (x - 2)$ aus $10 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2) - x (2 (x + 2))) + 10 (x + 2) (x - 2) (- x (2 (x - 2)))$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2) - x (2 (x + 2)) - x (2 (x - 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.2

Kombiniere Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.9.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2) - 2 x (x + 2) - x (2 (x - 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2) - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.9.4.3.1

Multipliziere $(x + 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.2.9.4.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x (x - 2) + 2 (x - 2) - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2) - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Schritt 1.1.2.9.4.3.2.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 2$ und $2 x$ neu an.

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.2.2

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2 - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.2.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x \cdot x + 2 \cdot - 2 - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.9.4.3.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2 \cdot - 2 - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.9.4.3.5.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 2 - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 2 x \cdot 2 - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 4 x - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.7

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 4 x - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.8

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.9.4.3.8.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 4 x - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 2)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 4 x - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 2)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.3.9

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 4 x - 2 x^{2} + 4 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 4 x - 2 x^{2} + 4 x$ .

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Schritt 1.1.2.9.4.4.1

Addiere $- 4 x$ und $4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 0)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.4.2

Addiere $x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 2 x^{2}$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 2 x^{2})}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.5

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (- x^{2} - 4 - 2 x^{2})}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.4.6

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 4)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.5

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.2.9.5.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 2)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.9.5.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 4)}{{(x + 2)}^{2 \cdot 2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 4)}{{(x + 2)}^{4} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9.5.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 2)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.9.5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 4)}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.1.2.9.5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 4)}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.9.5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x + 2$ und ${(x + 2)}^{4}$ .

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Schritt 1.1.2.9.5.3.1

Faktorisiere $x + 2$ aus $10 (x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 4)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{(x + 2) ((10 (x - 2)) (- 3 x^{2} - 4))}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.9.5.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.9.5.3.2.1

Faktorisiere $x + 2$ aus ${(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{(x + 2) ((10 (x - 2)) (- 3 x^{2} - 4))}{(x + 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

Schritt 1.1.2.9.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - \frac{(x + 2) ((10 (x - 2)) (- 3 x^{2} - 4))}{(x + 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

Schritt 1.1.2.9.5.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - \frac{(10 (x - 2)) (- 3 x^{2} - 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.9.5.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x - 2$ und ${(x - 2)}^{4}$ .

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Schritt 1.1.2.9.5.4.1

Faktorisiere $x - 2$ aus $10 (x - 2) (- 3 x^{2} - 4)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{(x - 2) (10 (- 3 x^{2} - 4))}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.9.5.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.9.5.4.2.1

Faktorisiere $x - 2$ aus ${(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{(x - 2) (10 (- 3 x^{2} - 4))}{(x - 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3})}$

Schritt 1.1.2.9.5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - \frac{(x - 2) (10 (- 3 x^{2} - 4))}{(x - 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3})}$

Schritt 1.1.2.9.5.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - \frac{10 (- 3 x^{2} - 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.9.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{10 (- (3 x^{2}) - 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.9.7

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$f'' (x) = - \frac{10 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.9.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2}) - 1 (4)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{10 (- (3 x^{2} + 4))}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.9.9

Schreibe $- (3 x^{2} + 4)$ als $- 1 (3 x^{2} + 4)$ um.

$f'' (x) = - \frac{10 (- 1 (3 x^{2} + 4))}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.9.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{10 (3 x^{2} + 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.9.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{10 (3 x^{2} + 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}})$

Schritt 1.1.2.9.12

Mutltipliziere $\frac{10 (3 x^{2} + 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{10 (3 x^{2} + 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{10 (3 x^{2} + 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$ .

$\frac{10 (3 x^{2} + 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{10 (3 x^{2} + 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{10 (3 x^{2} + 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$10 (3 x^{2} + 4) = 0$

Schritt 1.2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $10 (3 x^{2} + 4) = 0$ durch $10$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $10 (3 x^{2} + 4) = 0$ durch $10$ .

$\frac{10 (3 x^{2} + 4)}{10} = \frac{0}{10}$

Schritt 1.2.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 1.2.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 (3 x^{2} + 4)}{10} = \frac{0}{10}$

Schritt 1.2.3.1.2.1.2

Dividiere $3 x^{2} + 4$ durch $1$ .

$3 x^{2} + 4 = \frac{0}{10}$

Schritt 1.2.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $10$ .

$3 x^{2} + 4 = 0$

Schritt 1.2.3.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} = - 4$

Schritt 1.2.3.3

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = - 4$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = - 4$ durch $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 4}{3}$

Schritt 1.2.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 4}{3}$

Schritt 1.2.3.3.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{3}$

Schritt 1.2.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} = - \frac{4}{3}$

Schritt 1.2.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{4}{3}}$

Schritt 1.2.3.5

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{4}{3}}$ .

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Schritt 1.2.3.5.1

Schreibe $- \frac{4}{3}$ als $i^{2} \frac{2^{2}}{3}$ um.

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Schritt 1.2.3.5.1.1

Schreibe $- 1$ als $i^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{4}{3}}$

Schritt 1.2.3.5.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2^{2}}{3}}$

Schritt 1.2.3.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm i \sqrt{\frac{2^{2}}{3}}$

Schritt 1.2.3.5.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \pm i \sqrt{\frac{4}{3}}$

Schritt 1.2.3.5.4

Schreibe $\sqrt{\frac{4}{3}}$ als $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ um.

$x = \pm i \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Schritt 1.2.3.5.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.3.5.5.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Schritt 1.2.3.5.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \frac{2}{\sqrt{3}}$

Schritt 1.2.3.5.6

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Schritt 1.2.3.5.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.3.5.7.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 1.2.3.5.7.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 1.2.3.5.7.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 1.2.3.5.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.2.3.5.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 1.2.3.5.7.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 1.2.3.5.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.2.3.5.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.2.3.5.7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.3.5.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.5.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.3.5.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 1.2.3.5.7.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 1.2.3.5.8

Kombiniere $i$ und $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i (2 \sqrt{3})}{3}$

Schritt 1.2.3.5.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 1.2.3.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.3.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 1.2.3.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 1.2.3.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{2 i \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 4}$ .

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Schritt 2.1

Setze den Nenner in $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 4}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 4 = 0$

Schritt 2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 4$

Schritt 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 2.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 2$

Schritt 2.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2$

Schritt 2.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2$

Schritt 2.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - 2$

Schritt 2.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 2, - 2}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 2, - 2}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, - 2)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{10 (3 {(- 4)}^{2} + 4)}{{((- 4) + 2)}^{3} {((- 4) - 2)}^{3}}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{10 (3 \cdot 16 + 4)}{{(- 4 + 2)}^{3} {(- 4 - 2)}^{3}}$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$f'' (- 4) = \frac{10 (48 + 4)}{{(- 4 + 2)}^{3} {(- 4 - 2)}^{3}}$

Schritt 4.2.1.3

Addiere $48$ und $4$ .

$f'' (- 4) = \frac{10 \cdot 52}{{(- 4 + 2)}^{3} {(- 4 - 2)}^{3}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.2.1

Addiere $- 4$ und $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{10 \cdot 52}{{(- 2)}^{3} {(- 4 - 2)}^{3}}$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{10 \cdot 52}{{(- 2)}^{3} {(- 6)}^{3}}$

Schritt 4.2.2.3

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{10 \cdot 52}{- 8 {(- 6)}^{3}}$

Schritt 4.2.2.4

Potenziere $- 6$ mit $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{10 \cdot 52}{- 8 \cdot - 216}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.1

Mutltipliziere $10$ mit $52$ .

$f'' (- 4) = \frac{520}{- 8 \cdot - 216}$

Schritt 4.2.3.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 216$ .

$f'' (- 4) = \frac{520}{1728}$

Schritt 4.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $520$ und $1728$ .

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Schritt 4.2.3.3.1

Faktorisiere $8$ aus $520$ heraus.

$f'' (- 4) = \frac{8 (65)}{1728}$

Schritt 4.2.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.3.2.1

Faktorisiere $8$ aus $1728$ heraus.

$f'' (- 4) = \frac{8 \cdot 65}{8 \cdot 216}$

Schritt 4.2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- 4) = \frac{8 \cdot 65}{8 \cdot 216}$

Schritt 4.2.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- 4) = \frac{65}{216}$

Schritt 4.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{65}{216}$ .

$\frac{65}{216}$

Schritt 4.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, - 2)$ konvex, weil $f'' (- 4)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, - 2)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- 2, 2)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = \frac{10 (3 {(0)}^{2} + 4)}{{((0) + 2)}^{3} {((0) - 2)}^{3}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = \frac{10 (3 \cdot 0 + 4)}{{(0 + 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$f'' (0) = \frac{10 (0 + 4)}{{(0 + 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Schritt 5.2.1.3

Addiere $0$ und $4$ .

$f'' (0) = \frac{10 \cdot 4}{{(0 + 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.2.1

Schreibe $0$ als $- 1 (0)$ um.

$f'' (0) = \frac{10 \cdot 4}{{(- 1 \cdot 0 + 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.2

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$f'' (0) = \frac{10 \cdot 4}{{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 2$ heraus.

$f'' (0) = \frac{10 \cdot 4}{{(- 1 \cdot (0 - 2))}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.4

Wende die Produktregel auf $- 1 \cdot (0 - 2)$ an.

$f'' (0) = \frac{10 \cdot 4}{{(- 1)}^{3} \cdot ({(0 - 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3})}$

Schritt 5.2.2.5

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f'' (0) = \frac{10 \cdot 4}{- 1 \cdot ({(0 - 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3})}$

Schritt 5.2.2.6

Multipliziere ${(0 - 2)}^{3}$ mit ${(0 - 2)}^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.6.1

Bewege ${(0 - 2)}^{3}$ .

$f'' (0) = \frac{10 \cdot 4}{- 1 \cdot ({(0 - 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3})}$

Schritt 5.2.2.6.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (0) = \frac{10 \cdot 4}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{3 + 3}}$

Schritt 5.2.2.6.3

Addiere $3$ und $3$ .

$f'' (0) = \frac{10 \cdot 4}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{6}}$

Schritt 5.2.3

Mutltipliziere $10$ mit $4$ .

$f'' (0) = \frac{40}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{6}}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.4.1

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$f'' (0) = \frac{40}{- 1 {(- 2)}^{6}}$

Schritt 5.2.4.2

Potenziere $- 2$ mit $6$ .

$f'' (0) = \frac{40}{- 1 \cdot 64}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $64$ .

$f'' (0) = \frac{40}{- 64}$

Schritt 5.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $40$ und $- 64$ .

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Schritt 5.2.5.2.1

Faktorisiere $8$ aus $40$ heraus.

$f'' (0) = \frac{8 (5)}{- 64}$

Schritt 5.2.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.5.2.2.1

Faktorisiere $8$ aus $- 64$ heraus.

$f'' (0) = \frac{8 \cdot 5}{8 \cdot - 8}$

Schritt 5.2.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (0) = \frac{8 \cdot 5}{8 \cdot - 8}$

Schritt 5.2.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (0) = \frac{5}{- 8}$

Schritt 5.2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (0) = - \frac{5}{8}$

Schritt 5.2.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{5}{8}$ .

$- \frac{5}{8}$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- 2, 2)$ konkav, weil $f'' (0)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- 2, 2)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(2, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f'' (4) = \frac{10 (3 {(4)}^{2} + 4)}{{((4) + 2)}^{3} {((4) - 2)}^{3}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f'' (4) = \frac{10 (3 \cdot 16 + 4)}{{(4 + 2)}^{3} {(4 - 2)}^{3}}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$f'' (4) = \frac{10 (48 + 4)}{{(4 + 2)}^{3} {(4 - 2)}^{3}}$

Schritt 6.2.1.3

Addiere $48$ und $4$ .

$f'' (4) = \frac{10 \cdot 52}{{(4 + 2)}^{3} {(4 - 2)}^{3}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Addiere $4$ und $2$ .

$f'' (4) = \frac{10 \cdot 52}{6^{3} {(4 - 2)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$f'' (4) = \frac{10 \cdot 52}{6^{3} \cdot 2^{3}}$

Schritt 6.2.2.3

Potenziere $6$ mit $3$ .

$f'' (4) = \frac{10 \cdot 52}{216 \cdot 2^{3}}$

Schritt 6.2.2.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f'' (4) = \frac{10 \cdot 52}{216 \cdot 8}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1

Mutltipliziere $10$ mit $52$ .

$f'' (4) = \frac{520}{216 \cdot 8}$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $216$ mit $8$ .

$f'' (4) = \frac{520}{1728}$

Schritt 6.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $520$ und $1728$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.3.1

Faktorisiere $8$ aus $520$ heraus.

$f'' (4) = \frac{8 (65)}{1728}$

Schritt 6.2.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.3.2.1

Faktorisiere $8$ aus $1728$ heraus.

$f'' (4) = \frac{8 \cdot 65}{8 \cdot 216}$

Schritt 6.2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (4) = \frac{8 \cdot 65}{8 \cdot 216}$

Schritt 6.2.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (4) = \frac{65}{216}$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{65}{216}$ .

$\frac{65}{216}$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(2, \infty)$ konvex, weil $f'' (4)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(2, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 7

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, - 2)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konkav im Intervall $(- 2, 2)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(2, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 8