Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = {(x - 4)}^{2}$ und $g (x) = {(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{2}] - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 2)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{2}] - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.1.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{2}] - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x - 4$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x - 4$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x - 4]) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x - 4]) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x - 4$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (2 (x - 4) \frac{d}{d x} [x - 4]) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.4

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.4.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(x - 2)}^{2} (x - 4) \frac{d}{d x} [x - 4] - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.4.4

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) (1 + 0) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.4.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.4.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) \cdot 1 - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x - 2$ .

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Schritt 1.1.1.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x - 2$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - {(x - 4)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.5.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x - 2$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - {(x - 4)}^{2} (2 (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.6

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} ((x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.6.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} ((x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]))}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.6.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} ((x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]))}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.6.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} ((x - 2) (1 + 0))}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.6.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.6.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} ((x - 2) \cdot 1)}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.6.5.2

Mutltipliziere $x - 2$ mit $1$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} (x - 2)}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.7

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.7.1.1

Faktorisiere $2 (x - 2) (x - 4)$ aus $2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} (x - 2)$ heraus.

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Schritt 1.1.1.7.1.1.1

Faktorisiere $2 (x - 2) (x - 4)$ aus $2 {(x - 2)}^{2} (x - 4)$ heraus.

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (x - 2) - 2 {(x - 4)}^{2} (x - 2)}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.7.1.1.2

Faktorisiere $2 (x - 2) (x - 4)$ aus $- 2 {(x - 4)}^{2} (x - 2)$ heraus.

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (x - 2) + 2 (x - 2) (x - 4) (- (x - 4))}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.7.1.1.3

Faktorisiere $2 (x - 2) (x - 4)$ aus $2 (x - 2) (x - 4) (x - 2) + 2 (x - 2) (x - 4) (- (x - 4))$ heraus.

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (x - 2 - (x - 4))}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.7.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (x - 2 - x - - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.7.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (x - 2 - x + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.7.1.4

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (0 - 2 + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.7.1.5

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (- 2 + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.7.1.6

Addiere $- 2$ und $4$ .

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) \cdot 2}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.7.1.7

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 (x - 2) (x - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x - 2$ und ${(x - 2)}^{4}$ .

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Schritt 1.1.1.7.2.1

Faktorisiere $x - 2$ aus $4 (x - 2) (x - 4)$ heraus.

$\frac{(x - 2) (4 (x - 4))}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.1.7.2.2.1

Faktorisiere $x - 2$ aus ${(x - 2)}^{4}$ heraus.

$\frac{(x - 2) (4 (x - 4))}{(x - 2) {(x - 2)}^{3}}$

Schritt 1.1.1.7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 2) (4 (x - 4))}{(x - 2) {(x - 2)}^{3}}$

Schritt 1.1.1.7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{4 (x - 4)}{{(x - 2)}^{3}}$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 (x - 4)}{{(x - 2)}^{3}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{{(x - 2)}^{3}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{{(x - 2)}^{3}}]$

Schritt 1.1.2.2

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 4] - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{({(x - 2)}^{3})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 2)}^{3})}^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 4] - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{3 \cdot 2}}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 4] - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

Schritt 1.1.2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

Schritt 1.1.2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

Schritt 1.1.2.3.4

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

Schritt 1.1.2.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

Schritt 1.1.2.3.5.2

Mutltipliziere ${(x - 2)}^{3}$ mit $1$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

Schritt 1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x - 2$ .

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Schritt 1.1.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 2$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} - (x - 4) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Schritt 1.1.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} - (x - 4) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Schritt 1.1.2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 2$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} - (x - 4) (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Schritt 1.1.2.5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.1.2.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} - 3 (x - 4) ({(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Schritt 1.1.2.5.2

Faktorisiere ${(x - 2)}^{2}$ aus ${(x - 2)}^{3} - 3 (x - 4) ({(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])$ heraus.

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Schritt 1.1.2.5.2.1

Faktorisiere ${(x - 2)}^{2}$ aus ${(x - 2)}^{3}$ heraus.

$4 \frac{{(x - 2)}^{2} (x - 2) - 3 (x - 4) ({(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Schritt 1.1.2.5.2.2

Faktorisiere ${(x - 2)}^{2}$ aus $- 3 (x - 4) ({(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])$ heraus.

$4 \frac{{(x - 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} (- 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{{(x - 2)}^{6}}$

Schritt 1.1.2.5.2.3

Faktorisiere ${(x - 2)}^{2}$ aus ${(x - 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} (- 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2]))$ heraus.

$4 \frac{{(x - 2)}^{2} (x - 2 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{{(x - 2)}^{6}}$

Schritt 1.1.2.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.6.1

Faktorisiere ${(x - 2)}^{2}$ aus ${(x - 2)}^{6}$ heraus.

$4 \frac{{(x - 2)}^{2} (x - 2 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{{(x - 2)}^{2} {(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{{(x - 2)}^{2} (x - 2 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{{(x - 2)}^{2} {(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$4 \frac{x - 2 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$4 \frac{x - 2 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \frac{x - 2 - 3 (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.9

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 \frac{x - 2 - 3 (x - 4) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.10

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.2.10.1

Addiere $1$ und $0$ .

$4 \frac{x - 2 - 3 (x - 4) \cdot 1}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.10.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$4 \frac{x - 2 - 3 (x - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.10.3

Kombiniere $4$ und $\frac{x - 2 - 3 (x - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$ .

$\frac{4 (x - 2 - 3 (x - 4))}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.11

Vereinfache.

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Schritt 1.1.2.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (x - 2 - 3 x - 3 \cdot - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x + 4 \cdot - 2 + 4 (- 3 x) + 4 (- 3 \cdot - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.11.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.11.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.11.3.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$\frac{4 x - 8 + 4 (- 3 x) + 4 (- 3 \cdot - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.11.3.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$\frac{4 x - 8 - 12 x + 4 (- 3 \cdot - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.11.3.1.3

Multipliziere $4 (- 3 \cdot - 4)$ .

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Schritt 1.1.2.11.3.1.3.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 4$ .

$\frac{4 x - 8 - 12 x + 4 \cdot 12}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.11.3.1.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $12$ .

$\frac{4 x - 8 - 12 x + 48}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.11.3.2

Subtrahiere $12 x$ von $4 x$ .

$\frac{- 8 x - 8 + 48}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.11.3.3

Addiere $- 8$ und $48$ .

$\frac{- 8 x + 40}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.11.4

Faktorisiere $8$ aus $- 8 x + 40$ heraus.

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Schritt 1.1.2.11.4.1

Faktorisiere $8$ aus $- 8 x$ heraus.

$\frac{8 (- x) + 40}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.11.4.2

Faktorisiere $8$ aus $40$ heraus.

$\frac{8 (- x) + 8 (5)}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.11.4.3

Faktorisiere $8$ aus $8 (- x) + 8 (5)$ heraus.

$\frac{8 (- x + 5)}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.11.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{8 (- (x) + 5)}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.11.6

Schreibe $5$ als $- 1 (- 5)$ um.

$\frac{8 (- (x) - 1 (- 5))}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.11.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 5)$ heraus.

$\frac{8 (- (x - 5))}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.11.8

Schreibe $- (x - 5)$ als $- 1 (x - 5)$ um.

$\frac{8 (- 1 (x - 5))}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.11.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{8 (x - 5)}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{8 (x - 5)}{{(x - 2)}^{4}}$ .

$- \frac{8 (x - 5)}{{(x - 2)}^{4}}$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{8 (x - 5)}{{(x - 2)}^{4}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{8 (x - 5)}{{(x - 2)}^{4}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$8 (x - 5) = 0$

Schritt 1.2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $8 (x - 5) = 0$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $8 (x - 5) = 0$ durch $8$ .

$\frac{8 (x - 5)}{8} = \frac{0}{8}$

Schritt 1.2.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 1.2.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 (x - 5)}{8} = \frac{0}{8}$

Schritt 1.2.3.1.2.1.2

Dividiere $x - 5$ durch $1$ .

$x - 5 = \frac{0}{8}$

Schritt 1.2.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $8$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 1.2.3.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Setze den Nenner in $\frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 2.2.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 2}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 2}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, 2) \cup (2, 5) \cup (5, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, 2)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = - \frac{8 ((0) - 5)}{{((0) - 2)}^{4}}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $5$ von $0$ .

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 5}{{(0 - 2)}^{4}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.2.1

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 5}{{(- 2)}^{4}}$

Schritt 4.2.2.2

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 5}{16}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 5$ .

$f'' (0) = - \frac{- 40}{16}$

Schritt 4.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 40$ und $16$ .

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Schritt 4.2.3.2.1

Faktorisiere $8$ aus $- 40$ heraus.

$f'' (0) = - \frac{8 (- 5)}{16}$

Schritt 4.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.2.2.1

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 2}$

Schritt 4.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 2}$

Schritt 4.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (0) = - \frac{- 5}{2}$

Schritt 4.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (0) = \frac{5}{2}$

Schritt 4.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2}$

Schritt 4.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, 2)$ konvex, weil $f'' (0)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, 2)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(2, 5)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f'' (4) = - \frac{8 ((4) - 5)}{{((4) - 2)}^{4}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $5$ von $4$ .

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot - 1}{{(4 - 2)}^{4}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot - 1}{2^{4}}$

Schritt 5.2.2.2

Potenziere $2$ mit $4$ .

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot - 1}{16}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$f'' (4) = - \frac{- 8}{16}$

Schritt 5.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $16$ .

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Schritt 5.2.3.2.1

Faktorisiere $8$ aus $- 8$ heraus.

$f'' (4) = - \frac{8 (- 1)}{16}$

Schritt 5.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.2.2.1

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot - 1}{8 \cdot 2}$

Schritt 5.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot - 1}{8 \cdot 2}$

Schritt 5.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (4) = - \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (4) = \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(2, 5)$ konvex, weil $f'' (4)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(2, 5)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(5, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $8$ .

$f'' (8) = - \frac{8 ((8) - 5)}{{((8) - 2)}^{4}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $5$ von $8$ .

$f'' (8) = - \frac{8 \cdot 3}{{(8 - 2)}^{4}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $2$ von $8$ .

$f'' (8) = - \frac{8 \cdot 3}{6^{4}}$

Schritt 6.2.2.2

Potenziere $6$ mit $4$ .

$f'' (8) = - \frac{8 \cdot 3}{1296}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.1

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$f'' (8) = - \frac{24}{1296}$

Schritt 6.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $24$ und $1296$ .

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Schritt 6.2.3.2.1

Faktorisiere $24$ aus $24$ heraus.

$f'' (8) = - \frac{24 (1)}{1296}$

Schritt 6.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.2.2.1

Faktorisiere $24$ aus $1296$ heraus.

$f'' (8) = - \frac{24 \cdot 1}{24 \cdot 54}$

Schritt 6.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (8) = - \frac{24 \cdot 1}{24 \cdot 54}$

Schritt 6.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (8) = - \frac{1}{54}$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{54}$ .

$- \frac{1}{54}$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(5, \infty)$ konkav, weil $f'' (8)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(5, \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 7

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, 2)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konvex im Intervall $(2, 5)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konkav im Intervall $(5, \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 8