Analysis Beispiele

$y = - x^{2} + x$

Schritt 1

Betrachte die Grenzwertdefinition der Ableitung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = - {(x + h)}^{2} + x + h$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Entferne die Klammern.

$f (x + h) = - {(x + h)}^{2} + x + h$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.2.1

Schreibe ${(x + h)}^{2}$ als $(x + h) (x + h)$ um.

$f (x + h) = - ((x + h) (x + h)) + x + h$

Schritt 2.1.2.2.2

Multipliziere $(x + h) (x + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = - (x (x + h) + h (x + h)) + x + h$

Schritt 2.1.2.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = - (x \cdot x + x h + h (x + h)) + x + h$

Schritt 2.1.2.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = - (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + x + h$

Schritt 2.1.2.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.2.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x + h) = - (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + x + h$

Schritt 2.1.2.2.3.1.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$f (x + h) = - (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + x + h$

Schritt 2.1.2.2.3.2

Addiere $x h$ und $h x$ .

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Schritt 2.1.2.2.3.2.1

Stelle $x$ und $h$ um.

$f (x + h) = - (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + x + h$

Schritt 2.1.2.2.3.2.2

Addiere $h x$ und $h x$ .

$f (x + h) = - (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + x + h$

Schritt 2.1.2.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = - x^{2} - (2 h x) - h^{2} + x + h$

Schritt 2.1.2.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (x + h) = - x^{2} - 2 h x - h^{2} + x + h$

Schritt 2.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $- x^{2} - 2 h x - h^{2} + x + h$ .

$- x^{2} - 2 h x - h^{2} + x + h$

Schritt 2.2

Stelle um.

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Schritt 2.2.1

Bewege $x$ .

$- x^{2} - 2 h x - h^{2} + h + x$

Schritt 2.2.2

Bewege $- x^{2}$ .

$- 2 h x - h^{2} - x^{2} + h + x$

Schritt 2.2.3

Stelle $- 2 h x$ und $- h^{2}$ um.

$- h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x$

Schritt 2.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x$

$f (x) = - x^{2} + x$

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x$

$f (x) = - x^{2} + x$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x - (- x^{2} + x)}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x + x^{2} - x}{h}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $- - x^{2}$ .

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x + 1 x^{2} - x}{h}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x + x^{2} - x}{h}$

Schritt 4.1.3

Addiere $- x^{2}$ und $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + h + x + 0 - x}{h}$

Schritt 4.1.4

Addiere $- h^{2}$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + h + x - x}{h}$

Schritt 4.1.5

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + h + 0}{h}$

Schritt 4.1.6

Addiere $- h^{2} - 2 h x + h$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + h}{h}$

Schritt 4.1.7

Faktorisiere $h$ aus $- h^{2} - 2 h x + h$ heraus.

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Schritt 4.1.7.1

Faktorisiere $h$ aus $- h^{2}$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h) - 2 h x + h}{h}$

Schritt 4.1.7.2

Faktorisiere $h$ aus $- 2 h x$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h) + h (- 2 x) + h}{h}$

Schritt 4.1.7.3

Potenziere $h$ mit $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h) + h (- 2 x) + h}{h}$

Schritt 4.1.7.4

Faktorisiere $h$ aus $h^{1}$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h) + h (- 2 x) + h \cdot 1}{h}$

Schritt 4.1.7.5

Faktorisiere $h$ aus $h (- h) + h (- 2 x)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h - 2 x) + h \cdot 1}{h}$

Schritt 4.1.7.6

Faktorisiere $h$ aus $h (- h - 2 x) + h \cdot 1$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h - 2 x + 1)}{h}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h - 2 x + 1)}{h}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $- h - 2 x + 1$ durch $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - h - 2 x + 1$

Schritt 4.2.2

Stelle $- h$ und $- 2 x$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 2 x - h + 1$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$- lim_{h \to 0} 2 x - lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $2 x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$- 2 x - lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$- 2 x - lim_{h \to 0} h + 1$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$- 2 x + 0 + 1$

Schritt 8.2

Addiere $- 2 x$ und $0$ .

$- 2 x + 1$

Schritt 9