Analysis Beispiele

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1

Betrachte die Grenzwertdefinition der Ableitung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = {(x + h)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.1.2

Die endgültige Lösung ist ${(x + h)}^{\frac{2}{3}}$ .

${(x + h)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = {(x + h)}^{\frac{2}{3}}$

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$

$f (x + h) = {(x + h)}^{\frac{2}{3}}$

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{\frac{2}{3}} - (x^{\frac{2}{3}})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Schreibe ${(x + h)}^{\frac{2}{3}}$ als ${({(x + h)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{{({(x + h)}^{\frac{1}{3}})}^{2} - x^{\frac{2}{3}}}{h}$

Schritt 4.2

Schreibe $x^{\frac{2}{3}}$ als ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{{({(x + h)}^{\frac{1}{3}})}^{2} - {(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}{h}$

Schritt 4.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = {(x + h)}^{\frac{1}{3}}$ und $b = x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}})}{h}$

Schritt 5

Wandle die gebrochene Exponenten in Wurzelausdrücke um.

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Schritt 5.1

Schreibe ${(x + h)}^{\frac{1}{3}}$ als $\sqrt[3]{x + h}$ um.

$lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt[3]{x + h} + x^{\frac{1}{3}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}})}{h}$

Schritt 5.2

Schreibe $x^{\frac{1}{3}}$ als $\sqrt[3]{x}$ um.

$lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt[3]{x + h} + \sqrt[3]{x}) ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}})}{h}$

Schritt 5.3

Schreibe ${(x + h)}^{\frac{1}{3}}$ als $\sqrt[3]{x + h}$ um.

$lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt[3]{x + h} + \sqrt[3]{x}) (\sqrt[3]{x + h} - x^{\frac{1}{3}})}{h}$

Schritt 5.4

Schreibe $x^{\frac{1}{3}}$ als $\sqrt[3]{x}$ um.

$lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt[3]{x + h} + \sqrt[3]{x}) (\sqrt[3]{x + h} - \sqrt[3]{x})}{h}$

Schritt 6

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 6.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{h \to 0} (\sqrt[3]{x + h} + \sqrt[3]{x}) (\sqrt[3]{x + h} - \sqrt[3]{x})}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 6.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 6.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x + h} + \sqrt[3]{x} \cdot lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x + h} - \sqrt[3]{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 6.1.2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{(lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x + h} + lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x}) \cdot lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x + h} - \sqrt[3]{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 6.1.2.3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{(\sqrt[3]{lim_{h \to 0} x + h} + lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x}) \cdot lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x + h} - \sqrt[3]{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 6.1.2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{(\sqrt[3]{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h} + lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x}) \cdot lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x + h} - \sqrt[3]{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 6.1.2.5

Berechne den Grenzwert von $x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{(\sqrt[3]{x + lim_{h \to 0} h} + lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x}) \cdot lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x + h} - \sqrt[3]{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 6.1.2.6

Berechne den Grenzwert von $\sqrt[3]{x}$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{(\sqrt[3]{x + lim_{h \to 0} h} + \sqrt[3]{x}) \cdot lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x + h} - \sqrt[3]{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 6.1.2.7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{(\sqrt[3]{x + lim_{h \to 0} h} + \sqrt[3]{x}) \cdot (lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x + h} - lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x})}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 6.1.2.8

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{(\sqrt[3]{x + lim_{h \to 0} h} + \sqrt[3]{x}) \cdot (\sqrt[3]{lim_{h \to 0} x + h} - lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x})}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 6.1.2.9

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{(\sqrt[3]{x + lim_{h \to 0} h} + \sqrt[3]{x}) \cdot (\sqrt[3]{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x})}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 6.1.2.10

Berechne den Grenzwert von $x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{(\sqrt[3]{x + lim_{h \to 0} h} + \sqrt[3]{x}) \cdot (\sqrt[3]{x + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x})}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 6.1.2.11

Berechne den Grenzwert von $\sqrt[3]{x}$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{(\sqrt[3]{x + lim_{h \to 0} h} + \sqrt[3]{x}) \cdot (\sqrt[3]{x + lim_{h \to 0} h} - \sqrt[3]{x})}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 6.1.2.12

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $h$ .

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Schritt 6.1.2.12.1

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{(\sqrt[3]{x + 0} + \sqrt[3]{x}) \cdot (\sqrt[3]{x + lim_{h \to 0} h} - \sqrt[3]{x})}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 6.1.2.12.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{(\sqrt[3]{x + 0} + \sqrt[3]{x}) \cdot (\sqrt[3]{x + 0} - \sqrt[3]{x})}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 6.1.2.13

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1.2.13.1

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x}) \cdot (\sqrt[3]{x + 0} - \sqrt[3]{x})}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 6.1.2.13.2

Addiere $\sqrt[3]{x}$ und $\sqrt[3]{x}$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{x} \cdot (\sqrt[3]{x + 0} - \sqrt[3]{x})}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 6.1.2.13.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\sqrt[3]{x + 0} - \sqrt[3]{x}$ .

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Schritt 6.1.2.13.3.1

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{x} \cdot (\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{x})}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 6.1.2.13.3.2

Subtrahiere $\sqrt[3]{x}$ von $\sqrt[3]{x}$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{x} \cdot 0}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 6.1.2.13.4

Multipliziere $2 \sqrt[3]{x} \cdot 0$ .

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Schritt 6.1.2.13.4.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$\frac{0 \sqrt[3]{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 6.1.2.13.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $\sqrt[3]{x}$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 6.1.3

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 6.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 6.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt[3]{x + h} + \sqrt[3]{x}) (\sqrt[3]{x + h} - \sqrt[3]{x})}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(\sqrt[3]{x + h} + \sqrt[3]{x}) (\sqrt[3]{x + h} - \sqrt[3]{x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 6.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(\sqrt[3]{x + h} + \sqrt[3]{x}) (\sqrt[3]{x + h} - \sqrt[3]{x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x + h}$ als ${(x + h)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\sqrt[3]{x + h} - \sqrt[3]{x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x + h}$ als ${(x + h)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ gleich $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ ist mit $f (h) = {(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}$ und $g (h) = {(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}] + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von ${(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ ist $f' (g (h)) g' (h)$ , mit $f (h) = h^{\frac{1}{3}}$ und $g (h) = x + h$ .

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Schritt 6.3.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3} {u_{1}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.6.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3} {(x + h)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3} {(x + h)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3} {(x + h)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3} {(x + h)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3} {(x + h)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.10.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3} {(x + h)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3} {(x + h)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.12

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(x + h)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{{(x + h)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.13

Bringe ${(x + h)}^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.14

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + h$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.15

Da $x$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.16

Addiere $0$ und $\frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.17

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.18

Mutltipliziere $\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}}$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.19

Da $- \sqrt[3]{x}$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $- \sqrt[3]{x}$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + 0) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.20

Addiere $\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}}$ und $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.21

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von ${(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) (\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.22

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ ist $f' (g (h)) g' (h)$ , mit $f (h) = h^{\frac{1}{3}}$ und $g (h) = x + h$ .

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Schritt 6.3.22.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.22.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.22.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3} {(x + h)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.23

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3} {(x + h)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.24

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3} {(x + h)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.25

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3} {(x + h)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.26

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.26.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3} {(x + h)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.26.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3} {(x + h)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.27

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3} {(x + h)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.28

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(x + h)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) (\frac{{(x + h)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.29

Bringe ${(x + h)}^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.30

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + h$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.31

Da $x$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.32

Addiere $0$ und $\frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.33

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.34

Mutltipliziere $\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}}$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.35

Da $\sqrt[3]{x}$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $\sqrt[3]{x}$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

Schritt 6.3.36

Addiere $\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}}$ und $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.37

Vereinfache.

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Schritt 6.3.37.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.37.1.1

Mutltipliziere ${(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}$ mit $\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.37.1.2

Mutltipliziere ${(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}$ mit $\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.37.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x} + {(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.37.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in ${(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x} + {(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}$ .

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Schritt 6.3.37.3.1

Subtrahiere $\sqrt[3]{x}$ von $\sqrt[3]{x}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + 0 + {(x + h)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.37.3.2

Addiere ${(x + h)}^{\frac{1}{3}}$ und $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + {(x + h)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.37.4

Addiere ${(x + h)}^{\frac{1}{3}}$ und ${(x + h)}^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 {(x + h)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.37.5

Bringe ${(x + h)}^{\frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}} {(x + h)}^{- \frac{1}{3}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.37.6

Multipliziere ${(x + h)}^{\frac{2}{3}}$ mit ${(x + h)}^{- \frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.37.6.1

Bewege ${(x + h)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 ({(x + h)}^{- \frac{1}{3}} {(x + h)}^{\frac{2}{3}})}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.37.6.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(x + h)}^{- \frac{1}{3} + \frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.37.6.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(x + h)}^{\frac{- 1 + 2}{3}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.37.6.4

Addiere $- 1$ und $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(x + h)}^{\frac{1}{3}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 6.3.38

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(x + h)}^{\frac{1}{3}}}}{1}$

Schritt 6.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{h \to 0} \frac{2}{3 {(x + h)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1$

Schritt 6.5

Schreibe ${(x + h)}^{\frac{1}{3}}$ als $\sqrt[3]{x + h}$ um.

$lim_{h \to 0} \frac{2}{3 \sqrt[3]{x + h}} \cdot 1$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x + h}}$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2}{3 \sqrt[3]{x + h}}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 7.1

Ziehe den Term $\frac{2}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{2}{3} lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt[3]{x + h}}$

Schritt 7.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x + h}}$

Schritt 7.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x + h}}$

Schritt 7.4

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{lim_{h \to 0} x + h}}$

Schritt 7.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h}}$

Schritt 7.6

Berechne den Grenzwert von $x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + lim_{h \to 0} h}}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 0}}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}})$

Schritt 9.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Schritt 9.3.2

Potenziere $\sqrt[3]{x}$ mit $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Schritt 9.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

Schritt 9.3.4

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Schritt 9.3.5

Schreibe ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ als $x$ um.

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Schritt 9.3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 9.3.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 9.3.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 9.3.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.3.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 9.3.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{1}}$

Schritt 9.3.5.5

Vereinfache.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{x}$

Schritt 9.4

Kombinieren.

$\frac{2 {\sqrt[3]{x}}^{2}}{3 x}$

Schritt 9.5

Schreibe ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ als $\sqrt[3]{x^{2}}$ um.

$\frac{2 \sqrt[3]{x^{2}}}{3 x}$

Schritt 10