Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x + 7$

Schritt 1

Betrachte die Grenzwertdefinition der Ableitung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = 2 (x + h) + 7$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 2 x + 2 h + 7$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $2 x + 2 h + 7$ .

$2 x + 2 h + 7$

Schritt 2.2

Stelle $2 x$ und $2 h$ um.

$2 h + 2 x + 7$

Schritt 2.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = 2 h + 2 x + 7$

$f (x) = 2 x + 7$

$f (x + h) = 2 h + 2 x + 7$

$f (x) = 2 x + 7$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x + 7 - (2 x + 7)}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x + 7 - (2 x) - 1 \cdot 7}{h}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x + 7 - 2 x - 1 \cdot 7}{h}$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x + 7 - 2 x - 7}{h}$

Schritt 4.1.4

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 0 + 7 - 7}{h}$

Schritt 4.1.5

Addiere $2 h$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 7 - 7}{h}$

Schritt 4.1.6

Subtrahiere $7$ von $7$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 0}{h}$

Schritt 4.1.7

Addiere $2 h$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h}{h}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h}{h}$

Schritt 4.2.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$2$

Schritt 6