Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x + 4$

Schritt 1

Betrachte die Grenzwertdefinition der Ableitung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = 2 (x + h) + 4$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 2 x + 2 h + 4$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $2 x + 2 h + 4$ .

$2 x + 2 h + 4$

Schritt 2.2

Stelle $2 x$ und $2 h$ um.

$2 h + 2 x + 4$

Schritt 2.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = 2 h + 2 x + 4$

$f (x) = 2 x + 4$

$f (x + h) = 2 h + 2 x + 4$

$f (x) = 2 x + 4$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x + 4 - (2 x + 4)}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 4$ heraus.

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Schritt 4.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x + 4 - (2 (x) + 4)}{h}$

Schritt 4.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x + 4 - (2 x + 2 \cdot 2)}{h}$

Schritt 4.1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot 2$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x + 4 - (2 (x + 2))}{h}$

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x + 4 - 1 \cdot (2 (x + 2))}{h}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x + 4 - 2 (x + 2)}{h}$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 h + 2 x + 4 - 2 (x + 2)$ heraus.

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Schritt 4.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 h$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x + 4 - 2 (x + 2)}{h}$

Schritt 4.1.3.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 (x) + 4 - 2 (x + 2)}{h}$

Schritt 4.1.3.3

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 (x) + 2 (2) - 2 (x + 2)}{h}$

Schritt 4.1.3.4

Faktorisiere $2$ aus $- 2 (x + 2)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 (x) + 2 (2) + 2 (- (x + 2))}{h}$

Schritt 4.1.3.5

Faktorisiere $2$ aus $2 h + 2 (x)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (h + x) + 2 (2) + 2 (- (x + 2))}{h}$

Schritt 4.1.3.6

Faktorisiere $2$ aus $2 (h + x) + 2 (2)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (h + x + 2) + 2 (- (x + 2))}{h}$

Schritt 4.1.3.7

Faktorisiere $2$ aus $2 (h + x + 2) + 2 (- (x + 2))$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (h + x + 2 - (x + 2))}{h}$

Schritt 4.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (h + x + 2 - x - 1 \cdot 2)}{h}$

Schritt 4.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (h + x + 2 - x - 2)}{h}$

Schritt 4.1.6

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (h + 0 + 2 - 2)}{h}$

Schritt 4.1.7

Addiere $h$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (h + 2 - 2)}{h}$

Schritt 4.1.8

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (h + 0)}{h}$

Schritt 4.1.9

Addiere $h$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h}{h}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h}{h}$

Schritt 4.2.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$2$

Schritt 6