Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x^{3}$

Schritt 1

Betrachte die Grenzwertdefinition der Ableitung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = 2 {(x + h)}^{3}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f (x + h) = 2 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3})$

Schritt 2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 2 x^{3} + 2 (3 x^{2} h) + 2 (3 x h^{2}) + 2 h^{3}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (x + h) = 2 x^{3} + 6 (x^{2} h) + 2 (3 x h^{2}) + 2 h^{3}$

Schritt 2.1.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (x + h) = 2 x^{3} + 6 (x^{2} h) + 6 (x h^{2}) + 2 h^{3}$

Schritt 2.1.2.4

Entferne die Klammern.

$f (x + h) = 2 x^{3} + 6 x^{2} h + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$

Schritt 2.1.2.5

Die endgültige Lösung ist $2 x^{3} + 6 x^{2} h + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$ .

$2 x^{3} + 6 x^{2} h + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$

Schritt 2.2

Stelle um.

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Schritt 2.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$2 x^{3} + 6 h x^{2} + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$

Schritt 2.2.2

Bewege $x$ .

$2 x^{3} + 6 h x^{2} + 6 h^{2} x + 2 h^{3}$

Schritt 2.2.3

Bewege $2 x^{3}$ .

$6 h x^{2} + 6 h^{2} x + 2 h^{3} + 2 x^{3}$

Schritt 2.2.4

Bewege $6 h x^{2}$ .

$6 h^{2} x + 2 h^{3} + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

Schritt 2.2.5

Stelle $6 h^{2} x$ und $2 h^{3}$ um.

$2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

Schritt 2.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

$f (x) = 2 x^{3}$

$f (x + h) = 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

$f (x) = 2 x^{3}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - (2 x^{3})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 x^{3}}{h}$

Schritt 4.1.2

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 0}{h}$

Schritt 4.1.3

Addiere $2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}}{h}$

Schritt 4.1.4

Faktorisiere $2 h$ aus $2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}$ heraus.

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Schritt 4.1.4.1

Faktorisiere $2 h$ aus $2 h^{3}$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h \cdot h^{2} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}}{h}$

Schritt 4.1.4.2

Faktorisiere $2 h$ aus $6 h^{2} x$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h \cdot h^{2} + 2 h (3 h x) + 6 h x^{2}}{h}$

Schritt 4.1.4.3

Faktorisiere $2 h$ aus $6 h x^{2}$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h \cdot h^{2} + 2 h (3 h x) + 2 h (3 x^{2})}{h}$

Schritt 4.1.4.4

Faktorisiere $2 h$ aus $2 h \cdot h^{2} + 2 h (3 h x)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h (h^{2} + 3 h x) + 2 h (3 x^{2})}{h}$

Schritt 4.1.4.5

Faktorisiere $2 h$ aus $2 h (h^{2} + 3 h x) + 2 h (3 x^{2})$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Schritt 4.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $2 (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})$ durch $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})$

Schritt 4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 h^{2} + 2 (3 h x) + 2 (3 x^{2})$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 h^{2} + 6 (h x) + 2 (3 x^{2})$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 h^{2} + 6 (h x) + 6 x^{2}$

Schritt 4.4

Bewege $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 h^{2} + 6 x h + 6 x^{2}$

Schritt 4.5

Bewege $2 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x h + 6 x^{2} + 2 h^{2}$

Schritt 4.6

Stelle $6 x h$ und $6 x^{2}$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x^{2} + 6 x h + 2 h^{2}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$lim_{h \to 0} 6 x^{2} + lim_{h \to 0} 6 x h + lim_{h \to 0} 2 h^{2}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $6 x^{2}$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$6 x^{2} + lim_{h \to 0} 6 x h + lim_{h \to 0} 2 h^{2}$

Schritt 7

Ziehe den Term $6 x$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$6 x^{2} + 6 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2 h^{2}$

Schritt 8

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$6 x^{2} + 6 x lim_{h \to 0} h + 2 lim_{h \to 0} h^{2}$

Schritt 9

Ziehe den Exponenten $2$ von $h^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$6 x^{2} + 6 x lim_{h \to 0} h + 2 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $h$ .

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Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$6 x^{2} + 6 x \cdot 0 + 2 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$6 x^{2} + 6 x \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2}$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.1.1

Multipliziere $6 x \cdot 0$ .

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Schritt 11.1.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $6$ .

$6 x^{2} + 0 x + 2 \cdot 0^{2}$

Schritt 11.1.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$6 x^{2} + 0 + 2 \cdot 0^{2}$

Schritt 11.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$6 x^{2} + 0 + 2 \cdot 0$

Schritt 11.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$6 x^{2} + 0 + 0$

Schritt 11.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $6 x^{2} + 0 + 0$ .

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Schritt 11.2.1

Addiere $6 x^{2}$ und $0$ .

$6 x^{2} + 0$

Schritt 11.2.2

Addiere $6 x^{2}$ und $0$ .

$6 x^{2}$

Schritt 12