Analysis Beispiele

$f (x) = x^{2} + 2 x$ , $(0, 6)$

Schritt 1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f' (x) = 2 x + 2$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $2 x + 2$ .

$2 x + 2$

Schritt 2

Bestimme, ob die Ableitung im Intervall $(0, 6)$ stetig ist.

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Schritt 2.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 2.2

$f' (x)$ ist stetig im Intervall $(0, 6)$ .

Die Funktion ist stetig.

Schritt 3

Die Funktion ist im Intervall $(0, 6)$ differenzierbar, da die Ableitung im Intervall $(0, 6)$ stetig ist.

Die Funktion ist differenzierbar.

Schritt 4