Analysis Beispiele

$f (x) = x^{3} + 1$ , $[2, 3]$

Schritt 1

Ermittele die Ableitung von $f (x) = x^{3} + 1$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Schritt 1.1.4

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Schritt 2

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 3

$f' (x)$ ist stetig im Intervall $[2, 3]$ .

$f' (x)$ ist stetig

Schritt 4

Der Durchschnittswert der Funktion $f'$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 5

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\int_{2}^{3} 3 x^{2} d x)$

Schritt 6

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 \int_{2}^{3} x^{2} d x)$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3}))$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{3}))$

Schritt 8.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $3$ und $2$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3}))$

Schritt 8.2.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.2.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{27}{3} - \frac{2^{3}}{3}))$

Schritt 8.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $27$ und $3$ .

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Schritt 8.2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{2^{3}}{3}))$

Schritt 8.2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{2^{3}}{3}))$

Schritt 8.2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{2^{3}}{3}))$

Schritt 8.2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{9}{1} - \frac{2^{3}}{3}))$

Schritt 8.2.2.2.2.4

Dividiere $9$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (9 - \frac{2^{3}}{3}))$

Schritt 8.2.2.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (9 - \frac{8}{3}))$

Schritt 8.2.2.4

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3}))$

Schritt 8.2.2.5

Kombiniere $9$ und $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3}))$

Schritt 8.2.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{9 \cdot 3 - 8}{3}))$

Schritt 8.2.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.2.7.1

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{27 - 8}{3}))$

Schritt 8.2.2.7.2

Subtrahiere $8$ von $27$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{19}{3}))$

Schritt 8.2.2.8

Kombiniere $3$ und $\frac{19}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{3 \cdot 19}{3})$

Schritt 8.2.2.9

Mutltipliziere $3$ mit $19$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{57}{3})$

Schritt 8.2.2.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $57$ und $3$ .

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Schritt 8.2.2.10.1

Faktorisiere $3$ aus $57$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{3 \cdot 19}{3})$

Schritt 8.2.2.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.2.10.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{3 \cdot 19}{3 (1)})$

Schritt 8.2.2.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{3 \cdot 19}{3 \cdot 1})$

Schritt 8.2.2.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{19}{1})$

Schritt 8.2.2.10.2.4

Dividiere $19$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (19)$

Schritt 9

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot 19$

Schritt 10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot 19$

Schritt 10.2

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = 1 \cdot 19$

Schritt 11

Mutltipliziere $19$ mit $1$ .

$A (x) = 19$

Schritt 12