Analysis Beispiele

$f (x) = 2 \sqrt{x}$ , $[4, 9]$

Schritt 1

Ermittele die Ableitung von $f (x) = 2 \sqrt{x}$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 1.1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 1.1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 1.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 1.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 1.1.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 1.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 1.1.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 1.1.10

Kombiniere $2$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 1.1.11

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.12

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.13

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Um den Durchschnittswert einer Funktion zu finden, sollte die Funktion über das geschlossene Intervall $[a, b]$ stetig sein. Um herauszufinden, ob $f' (x)$ stetig auf $[4, 9]$ ist oder nicht, finde den Definitionsbereich von $f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Schritt 2.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 2.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{1}{\sqrt{x^{1}}}$

Schritt 2.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{1}{\sqrt{x}}$

Schritt 2.2

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \geq 0$

Schritt 2.3

Setze den Nenner in $\frac{1}{\sqrt{x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{x} = 0$

Schritt 2.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.4.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.4.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 2.4.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 2.4.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 0^{2}$

Schritt 2.4.2.2.1.2

Vereinfache.

$x = 0^{2}$

Schritt 2.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x > 0}$

Intervallschreibweise:

$(0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x > 0}$

Schritt 3

$f' (x)$ ist stetig im Intervall $[4, 9]$ .

$f' (x)$ ist stetig

Schritt 4

Der Durchschnittswert der Funktion $f'$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 5

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x)$

Schritt 6

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 6.1

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x)$

Schritt 6.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x)$

Schritt 6.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} x^{\frac{- 1}{2}} d x)$

Schritt 6.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} x^{- \frac{1}{2}} d x)$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 x^{\frac{1}{2}}]_{4}^{9})$

Schritt 8

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.1

Berechne $2 x^{\frac{1}{2}}$ bei $9$ und $4$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Schritt 8.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Schritt 8.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Schritt 8.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 \cdot 3 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Schritt 8.2.4

Berechne den Exponenten.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 \cdot 3 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Schritt 8.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Schritt 8.2.6

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 8.2.7

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

Schritt 8.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

Schritt 8.2.8.2

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot 2)$

Schritt 8.2.9

Berechne den Exponenten.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot 2)$

Schritt 8.2.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 4)$

Schritt 8.2.11

Subtrahiere $4$ von $6$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2)$

Schritt 9

Subtrahiere $4$ von $9$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot 2$

Schritt 10

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $2$ .

$A (x) = \frac{2}{5}$

Schritt 11