Analysis Beispiele

$y = x^{3}$ , $[0, 5]$

Schritt 1

Schreibe $y = x^{3}$ als Funktion.

$f (x) = x^{3}$

Schritt 2

Ermittele die Ableitung von $f (x) = x^{3}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2}$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 4

$f' (x)$ ist stetig im Intervall $[0, 5]$ .

$f' (x)$ ist stetig

Schritt 5

Der Durchschnittswert der Funktion $f'$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 6

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} 3 x^{2} d x)$

Schritt 7

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 \int_{0}^{5} x^{2} d x)$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{5}))$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}))$

Schritt 9.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $5$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.2.1

Potenziere $5$ mit $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.2.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - \frac{0}{3}))$

Schritt 9.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 9.2.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Schritt 9.2.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Schritt 9.2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Schritt 9.2.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - \frac{0}{1}))$

Schritt 9.2.2.3.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - 0))$

Schritt 9.2.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} + 0))$

Schritt 9.2.2.5

Addiere $\frac{125}{3}$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3}))$

Schritt 9.2.2.6

Kombiniere $3$ und $\frac{125}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{3 \cdot 125}{3})$

Schritt 9.2.2.7

Mutltipliziere $3$ mit $125$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{375}{3})$

Schritt 9.2.2.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $375$ und $3$ .

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Schritt 9.2.2.8.1

Faktorisiere $3$ aus $375$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{3 \cdot 125}{3})$

Schritt 9.2.2.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.2.8.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{3 \cdot 125}{3 (1)})$

Schritt 9.2.2.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{3 \cdot 125}{3 \cdot 1})$

Schritt 9.2.2.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{125}{1})$

Schritt 9.2.2.8.2.4

Dividiere $125$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (125)$

Schritt 10

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 0} \cdot 125$

Schritt 10.2

Addiere $5$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot 125$

Schritt 11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 11.1

Faktorisiere $5$ aus $125$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 (25))$

Schritt 11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 \cdot 25)$

Schritt 11.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = 25$

Schritt 12