Analysis Beispiele

Ermittle die Bogenlänge y=4-x^2 , [-2,2]
,
Schritt 1
Überprüfe, ob stetig ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Intervallschreibweise:
Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:
Schritt 1.2
ist stetig im Intervall .
Die Funktion ist stetig.
Die Funktion ist stetig.
Schritt 2
Überprüfe, ob differenzierbar ist.
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Schritt 2.1
Bestimme die Ableitung.
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Schritt 2.1.1
Bestimme die erste Ableitung.
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Schritt 2.1.1.1
Differenziere.
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Schritt 2.1.1.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 2.1.1.1.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 2.1.1.2
Berechne .
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Schritt 2.1.1.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.1.1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.1.1.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.1.3
Subtrahiere von .
Schritt 2.1.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 2.2
Bestimme, ob die Ableitung im Intervall stetig ist.
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Schritt 2.2.1
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Intervallschreibweise:
Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:
Schritt 2.2.2
ist stetig im Intervall .
Die Funktion ist stetig.
Die Funktion ist stetig.
Schritt 2.3
Die Funktion ist im Intervall differenzierbar, da die Ableitung im Intervall stetig ist.
Die Funktion ist differenzierbar.
Die Funktion ist differenzierbar.
Schritt 3
Damit die Bogenlänge definiert ist, müssen sowohl die Funktion als auch ihre Ableitung in dem geschlossenen Intervall stetig sein.
Die Funktion und ihre Ableitung sind in dem abgeschlossenen Intervall stetig.
Schritt 4
Ermittele die Ableitung von .
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Schritt 4.1
Differenziere.
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Schritt 4.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 4.1.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 4.2
Berechne .
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Schritt 4.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 4.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3
Subtrahiere von .
Schritt 5
Um die Bogenlänge einer Funktion zu bestimmen, benutze die Formel .
Schritt 6
Berechne das Integral.
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Schritt 6.1
Sei , mit . Dann ist . Beachte, dass wegen , positiv ist.
Schritt 6.2
Vereinfache Terme.
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Schritt 6.2.1
Vereinfache .
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Schritt 6.2.1.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 6.2.1.1.1
Kombiniere und .
Schritt 6.2.1.1.2
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 6.2.1.1.3
Potenziere mit .
Schritt 6.2.1.1.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 6.2.1.1.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 6.2.1.1.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 6.2.1.2
Ordne Terme um.
Schritt 6.2.1.3
Wende den trigonometrischen Pythagoras an.
Schritt 6.2.1.4
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 6.2.2
Vereinfache.
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Schritt 6.2.2.1
Kombiniere und .
Schritt 6.2.2.2
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
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Schritt 6.2.2.2.1
Mutltipliziere mit .
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Schritt 6.2.2.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 6.2.2.2.1.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 6.2.2.2.2
Addiere und .
Schritt 6.3
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 6.4
Wende die Reduktionsformel an.
Schritt 6.5
Das Integral von nach ist .
Schritt 6.6
Vereinfache.
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Schritt 6.6.1
Kombiniere und .
Schritt 6.6.2
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 6.6.3
Kombiniere und .
Schritt 6.6.4
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 6.6.5
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 6.6.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.6.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.7
Substituiere und vereinfache.
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Schritt 6.7.1
Berechne bei und .
Schritt 6.7.2
Berechne bei und .
Schritt 6.7.3
Entferne unnötige Klammern.
Schritt 6.8
Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, .
Schritt 6.9
Vereinfache.
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Schritt 6.9.1
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 6.9.1.1
Berechne .
Schritt 6.9.1.2
Berechne .
Schritt 6.9.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.9.3
Dividiere durch .
Schritt 6.9.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.9.5
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 6.9.5.1
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 6.9.5.1.1
Berechne .
Schritt 6.9.5.1.2
Berechne .
Schritt 6.9.5.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.9.5.3
Dividiere durch .
Schritt 6.9.6
Addiere und .
Schritt 6.9.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.9.8
ist ungefähr , was positiv ist, also entferne den Absolutwert
Schritt 6.9.9
ist ungefähr , was positiv ist, also entferne den Absolutwert
Schritt 7
Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.
Exakte Form:
Dezimalform:
Schritt 8