Analysis Beispiele

$f (x) = (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}}$ , $[0, 4]$

Schritt 1

Überprüfe, ob $f (x) = (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}}$ stetig ist.

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Schritt 1.1

Um herauszufinden, ob die Funktion im Intervall $[0, 4]$ stetig ist oder nicht, ermittle den Definitionsbereich von $f (x) = (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}}$ .

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Schritt 1.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{4}{5} \sqrt[4]{x^{5}}$

Schritt 1.1.2

Setze den Radikanden in $\sqrt[4]{x^{5}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{5} \geq 0$

Schritt 1.1.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.1.3.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt[5]{x^{5}} \geq \sqrt[5]{0}$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 1.1.3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.3.2.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x \geq \sqrt[5]{0}$

Schritt 1.1.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.2.2.1

Vereinfache $\sqrt[5]{0}$ .

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Schritt 1.1.3.2.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{5}$ um.

$x \geq \sqrt[5]{0^{5}}$

Schritt 1.1.3.2.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x \geq 0$

Schritt 1.1.4

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq 0}$

Intervallschreibweise:

$[0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq 0}$

Schritt 1.2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[0, 4]$ .

Die Funktion ist stetig.

Schritt 2

Überprüfe, ob $f (x) = (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}}$ differenzierbar ist.

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Schritt 2.1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1.1

Kombiniere $\frac{4}{5}$ und $x^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5}]$

Schritt 2.1.1.2

Da $\frac{4}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5}$ nach $x$ gleich $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{4}}]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{4}}]$

Schritt 2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{5}{4}$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - 1})$

Schritt 2.1.1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Schritt 2.1.1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Schritt 2.1.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5 - 1 \cdot 4}{4}})$

Schritt 2.1.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5 - 4}{4}})$

Schritt 2.1.1.7.2

Subtrahiere $4$ von $5$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{1}{4}})$

Schritt 2.1.1.8

Kombiniere $\frac{5}{4}$ und $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 x^{\frac{1}{4}}}{4}$

Schritt 2.1.1.9

Mutltipliziere $\frac{4}{5}$ mit $\frac{5 x^{\frac{1}{4}}}{4}$ .

$\frac{4 (5 x^{\frac{1}{4}})}{5 \cdot 4}$

Schritt 2.1.1.10

Multipliziere.

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Schritt 2.1.1.10.1

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{5 \cdot 4}$

Schritt 2.1.1.10.2

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{20}$

Schritt 2.1.1.11

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{20}$

Schritt 2.1.1.12

Dividiere $x^{\frac{1}{4}}$ durch $1$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{4}}$

Schritt 2.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $x^{\frac{1}{4}}$ .

$x^{\frac{1}{4}}$

Schritt 2.2

Bestimme, ob die Ableitung im Intervall $[0, 4]$ stetig ist.

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Schritt 2.2.1

Um herauszufinden, ob die Funktion im Intervall $[0, 4]$ stetig ist oder nicht, ermittle den Definitionsbereich von $f' (x) = x^{\frac{1}{4}}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\sqrt[4]{x^{1}}$

Schritt 2.2.1.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\sqrt[4]{x}$

Schritt 2.2.1.2

Setze den Radikanden in $\sqrt[4]{x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \geq 0$

Schritt 2.2.1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq 0}$

Intervallschreibweise:

$[0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq 0}$

Schritt 2.2.2

$f' (x)$ ist stetig im Intervall $[0, 4]$ .

Die Funktion ist stetig.

Schritt 2.3

Die Funktion ist im Intervall $[0, 4]$ differenzierbar, da die Ableitung im Intervall $[0, 4]$ stetig ist.

Die Funktion ist differenzierbar.

Schritt 3

Damit die Bogenlänge definiert ist, müssen sowohl die Funktion als auch ihre Ableitung in dem geschlossenen Intervall $[0, 4]$ stetig sein.

Die Funktion und ihre Ableitung sind in dem abgeschlossenen Intervall $[0, 4]$ stetig.

Schritt 4

Ermittele die Ableitung von $f (x) = (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}}$ .

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{4}{5}$ und $x^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5}]$

Schritt 4.2

Da $\frac{4}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5}$ nach $x$ gleich $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{4}}]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{4}}]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{5}{4}$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - 1})$

Schritt 4.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Schritt 4.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Schritt 4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5 - 1 \cdot 4}{4}})$

Schritt 4.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5 - 4}{4}})$

Schritt 4.7.2

Subtrahiere $4$ von $5$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{1}{4}})$

Schritt 4.8

Kombiniere $\frac{5}{4}$ und $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 x^{\frac{1}{4}}}{4}$

Schritt 4.9

Mutltipliziere $\frac{4}{5}$ mit $\frac{5 x^{\frac{1}{4}}}{4}$ .

$\frac{4 (5 x^{\frac{1}{4}})}{5 \cdot 4}$

Schritt 4.10

Multipliziere.

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Schritt 4.10.1

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{5 \cdot 4}$

Schritt 4.10.2

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{20}$

Schritt 4.11

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{20}$

Schritt 4.12

Dividiere $x^{\frac{1}{4}}$ durch $1$ .

$x^{\frac{1}{4}}$

Schritt 5

Um die Bogenlänge einer Funktion zu bestimmen, benutze die Formel $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{0}^{4} \sqrt{1 + {(x^{\frac{1}{4}})}^{2}} d x$

Schritt 6