Analysis Beispiele

$\int_{0}^{5} 3000 e^{- 0.05 x} d x$

Schritt 1

Da $3000$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3000$ aus dem Integral.

$3000 \int_{0}^{5} e^{- 0.05 x} d x$

Schritt 2

Sei $u = - 0.05 x$ . Dann ist $d u = - 0.05 d x$ , folglich $\frac{1}{- 0.05} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = - 0.05 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $- 0.05 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 0.05 x]$

Schritt 2.1.2

Da $- 0.05$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 0.05 x$ nach $x$ gleich $- 0.05 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 0.05 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 0.05 \cdot 1$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $- 0.05$ mit $1$ .

$- 0.05$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = - 0.05 x$ ein.

$u_{lower} = - 0.05 \cdot 0$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $- 0.05$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = - 0.05 x$ ein.

$u_{upper} = - 0.05 \cdot 5$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $- 0.05$ mit $5$ .

$u_{upper} = - 0.25$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 0.25$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$3000 \int_{0}^{- 0.25} e^{u} \frac{1}{- 0.05} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3000 \int_{0}^{- 0.25} e^{u} (- \frac{1}{0.05}) d u$

Schritt 3.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{0.05}$ .

$3000 \int_{0}^{- 0.25} - \frac{e^{u}}{0.05} d u$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$3000 (- \int_{0}^{- 0.25} \frac{e^{u}}{0.05} d u)$

Schritt 5

Mutltipliziere $- 1$ mit $3000$ .

$- 3000 \int_{0}^{- 0.25} \frac{e^{u}}{0.05} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{0.05}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{0.05}$ aus dem Integral.

$- 3000 (\frac{1}{0.05} \int_{0}^{- 0.25} e^{u} d u)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{0.05}$ und $- 3000$ .

$\frac{- 3000}{0.05} \int_{0}^{- 0.25} e^{u} d u$

Schritt 7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3000}{0.05} \int_{0}^{- 0.25} e^{u} d u$

Schritt 8

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- \frac{3000}{0.05} e^{u}]_{0}^{- 0.25}$

Schritt 9

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.1

Berechne $e^{u}$ bei $- 0.25$ und $0$ .

$- \frac{3000}{0.05} ((e^{- 0.25}) - e^{0})$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$- \frac{3000}{0.05} (e^{- 0.25} - 1 \cdot 1)$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{3000}{0.05} (e^{- 0.25} - 1)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Dividiere $3000$ durch $0.05$ .

$- 1 \cdot 60000 (e^{- 0.25} - 1)$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $60000$ .

$- 60000 (e^{- 0.25} - 1)$

Schritt 10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 60000 e^{- 0.25} - 60000 \cdot - 1$

Schritt 10.4

Mutltipliziere $- 60000$ mit $- 1$ .

$- 60000 e^{- 0.25} + 60000$

Schritt 10.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 60000 \frac{1}{e^{0.25}} + 60000$

Schritt 10.5.2

Kombiniere $- 60000$ und $\frac{1}{e^{0.25}}$ .

$\frac{- 60000}{e^{0.25}} + 60000$

Schritt 10.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{60000}{e^{0.25}} + 60000$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{60000}{e^{0.25}} + 60000$

Dezimalform:

$13271.95301571 \dots$

Schritt 12