Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} y {(y^{2} + 1)}^{5} d y$

Schritt 1

Sei $u = y^{2} + 1$ . Dann ist $d u = 2 y d y$ , folglich $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = y^{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $y^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 1.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$2 y + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $2 y$ und $0$ .

$2 y$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $y$ in $u = y^{2} + 1$ ein.

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Schritt 1.3.2

Addiere $0$ und $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $y$ in $u = y^{2} + 1$ ein.

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{upper} = 1 + 1$

Schritt 1.5.2

Addiere $1$ und $1$ .

$u_{upper} = 2$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{2} u^{5} \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Kombiniere $u^{5}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{u^{5}}{2} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{5} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{5}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{2}$

Schritt 5

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1

Berechne $\frac{1}{6} u^{6}$ bei $2$ und $1$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{6} \cdot 2^{6}) - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Potenziere $2$ mit $6$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 64 - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Schritt 5.2.2

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $64$ .

$\frac{1}{2} (\frac{64}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $64$ und $6$ .

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Schritt 5.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $64$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{2 (32)}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Schritt 5.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Schritt 5.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Schritt 5.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (\frac{32}{3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Schritt 5.2.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2} (\frac{32}{3} - \frac{1}{6} \cdot 1)$

Schritt 5.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{32}{3} - \frac{1}{6})$

Schritt 5.2.6

Um $\frac{32}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{32}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{6})$

Schritt 5.2.7

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.2.7.1

Mutltipliziere $\frac{32}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{32 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6})$

Schritt 5.2.7.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{32 \cdot 2}{6} - \frac{1}{6})$

Schritt 5.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{32 \cdot 2 - 1}{6}$

Schritt 5.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.9.1

Mutltipliziere $32$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{64 - 1}{6}$

Schritt 5.2.9.2

Subtrahiere $1$ von $64$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{63}{6}$

Schritt 5.2.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $63$ und $6$ .

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Schritt 5.2.10.1

Faktorisiere $3$ aus $63$ heraus.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 (21)}{6}$

Schritt 5.2.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.10.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 2}$

Schritt 5.2.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 2}$

Schritt 5.2.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{21}{2}$

Schritt 5.2.11

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{21}{2}$ .

$\frac{21}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.2.12

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{21}{4}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{21}{4}$

Dezimalform:

$5.25$

Darstellung als gemischte Zahl:

$5 \frac{1}{4}$

Schritt 7