Analysis Beispiele

$\int_{0}^{2} \frac{2 t}{{(t - 3)}^{2}} d t$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{0}^{2} \frac{t}{{(t - 3)}^{2}} d t$

Schritt 2

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $A$ .

$\frac{A}{{(t - 3)}^{2}}$

Schritt 2.1.2

$\frac{A}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{B}{t - 3}$

Schritt 2.1.3

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich ${(t - 3)}^{2}$ .

$\frac{t {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} = \frac{(A) {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

Schritt 2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(t - 3)}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} = \frac{(A) {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

Schritt 2.1.4.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$t = \frac{(A) {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

Schritt 2.1.5

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(t - 3)}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$t = \frac{A {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

Schritt 2.1.5.1.2

Dividiere $A$ durch $1$ .

$t = A + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

Schritt 2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(t - 3)}^{2}$ und $t - 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.5.2.1

Faktorisiere $t - 3$ aus $(B) {(t - 3)}^{2}$ heraus.

$t = A + \frac{(t - 3) (B (t - 3))}{t - 3}$

Schritt 2.1.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.5.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$t = A + \frac{(t - 3) (B (t - 3))}{(t - 3) \cdot 1}$

Schritt 2.1.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$t = A + \frac{(t - 3) (B (t - 3))}{(t - 3) \cdot 1}$

Schritt 2.1.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$t = A + \frac{B (t - 3)}{1}$

Schritt 2.1.5.2.2.4

Dividiere $B (t - 3)$ durch $1$ .

$t = A + B (t - 3)$

Schritt 2.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$t = A + B t + B \cdot - 3$

Schritt 2.1.5.4

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $B$ .

$t = A + B t - 3 B$

Schritt 2.1.6

Stelle $A$ und $B t$ um.

$t = B t + A - 3 B$

Schritt 2.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $t$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = B$

Schritt 2.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $t$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = A - 3 B$

Schritt 2.2.3

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$1 = B$

$0 = A - 3 B$

$1 = B$

$0 = A - 3 B$

Schritt 2.3

Löse das Gleichungssystem.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Schreibe die Gleichung als $B = 1$ um.

$B = 1$

$0 = A - 3 B$

Schritt 2.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $1$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Ersetze alle $B$ in $0 = A - 3 B$ durch $1$ .

$0 = A - 3 \cdot 1$

$B = 1$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$0 = A - 3$

$B = 1$

$0 = A - 3$

$B = 1$

$0 = A - 3$

$B = 1$

Schritt 2.3.3

Löse in $0 = A - 3$ nach $A$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $A - 3 = 0$ um.

$A - 3 = 0$

$B = 1$

Schritt 2.3.3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$A = 3$

$B = 1$

$A = 3$

$B = 1$

Schritt 2.3.4

Löse das Gleichungssystem.

$A = 3 B = 1$

Schritt 2.3.5

Liste alle Lösungen auf.

$A = 3, B = 1$

Schritt 2.4

Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{B}{t - 3}$ durch die Werte, die für $A$ und $B$ ermittelt wurden.

$\frac{3}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{1}{t - 3}$

Schritt 2.5

Entferne die Null aus dem Ausdruck.

$2 \int_{0}^{2} \frac{3}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{1}{t - 3} d t$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$2 (\int_{0}^{2} \frac{3}{{(t - 3)}^{2}} d t + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Schritt 4

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$2 (3 \int_{0}^{2} \frac{1}{{(t - 3)}^{2}} d t + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Schritt 5

Sei $u_{1} = t - 3$ . Dann ist $d u_{1} = d t$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Es sei $u_{1} = t - 3$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Differenziere $t - 3$ .

$\frac{d}{d t} [t - 3]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t - 3$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- 3]$

Schritt 5.1.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 5.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 5.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u_{1} = t - 3$ ein.

$u_{lower} = 0 - 3$

Schritt 5.3

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$u_{lower} = - 3$

Schritt 5.4

Setze die obere Grenze für $t$ in $u_{1} = t - 3$ ein.

$u_{upper} = 2 - 3$

Schritt 5.5

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$u_{upper} = - 1$

Schritt 5.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = - 1$

Schritt 5.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{1}$ , $d u_{1}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$2 (3 \int_{- 3}^{- 1} \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Schritt 6

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Bringe ${u_{1}}^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$2 (3 \int_{- 3}^{- 1} {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Schritt 6.2

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (3 \int_{- 3}^{- 1} {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 (3 \int_{- 3}^{- 1} {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{1}}^{- 2}$ nach $u_{1}$ gleich $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$2 (3 (- {u_{1}}^{- 1}]_{- 3}^{- 1}) + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Schritt 8

Sei $u_{2} = t - 3$ . Dann ist $d u_{2} = d t$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Es sei $u_{2} = t - 3$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.1

Differenziere $t - 3$ .

$\frac{d}{d t} [t - 3]$

Schritt 8.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t - 3$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Schritt 8.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- 3]$

Schritt 8.1.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 8.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 8.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u_{2} = t - 3$ ein.

$u_{lower} = 0 - 3$

Schritt 8.3

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$u_{lower} = - 3$

Schritt 8.4

Setze die obere Grenze für $t$ in $u_{2} = t - 3$ ein.

$u_{upper} = 2 - 3$

Schritt 8.5

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$u_{upper} = - 1$

Schritt 8.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = - 1$

Schritt 8.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$2 (3 (- {u_{1}}^{- 1}]_{- 3}^{- 1}) + \int_{- 3}^{- 1} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 9

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (3 (- {u_{1}}^{- 1}]_{- 3}^{- 1}) + \ln (| u_{2} |)]_{- 3}^{- 1})$

Schritt 10

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Berechne $- {u_{1}}^{- 1}$ bei $- 1$ und $- 3$ .

$2 (3 ((- {(- 1)}^{- 1}) + {(- 3)}^{- 1}) + \ln (| u_{2} |)]_{- 3}^{- 1})$

Schritt 10.2

Berechne $\ln (| u_{2} |)$ bei $- 1$ und $- 3$ .

$2 (3 ((- {(- 1)}^{- 1}) + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Schritt 10.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (3 (- \frac{1}{- 1} + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Schritt 10.3.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{1}{- 1}$ .

$2 (3 (- (- 1 \cdot 1) + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Schritt 10.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 (3 (- - 1 + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Schritt 10.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 (3 (1 + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Schritt 10.3.5

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (3 (1 + \frac{1}{- 3}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Schritt 10.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 (3 (1 - \frac{1}{3}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Schritt 10.3.7

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$2 (3 (\frac{3}{3} - \frac{1}{3}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Schritt 10.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 (3 \frac{3 - 1}{3} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Schritt 10.3.9

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$2 (3 (\frac{2}{3}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Schritt 10.3.10

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{3}$ .

$2 (\frac{3 \cdot 2}{3} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Schritt 10.3.11

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$2 (\frac{6}{3} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Schritt 10.3.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.12.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$2 (\frac{3 \cdot 2}{3} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Schritt 10.3.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.12.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$2 (\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Schritt 10.3.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Schritt 10.3.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{2}{1} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Schritt 10.3.12.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 (2 + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

$2 (2 + \ln (| - 1 |) - \ln (| - 3 |))$

Schritt 11

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 (2 + \ln (\frac{| - 1 |}{| - 3 |}))$

Schritt 12

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 1$ und $0$ ist $1$ .

$2 (2 + \ln (\frac{1}{| - 3 |}))$

Schritt 12.1.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 3$ und $0$ ist $3$ .

$2 (2 + \ln (\frac{1}{3}))$

Schritt 12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 2 + 2 \ln (\frac{1}{3})$

Schritt 12.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 + 2 \ln (\frac{1}{3})$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$4 + 2 \ln (\frac{1}{3})$

Dezimalform:

$1.80277542 \dots$

Schritt 14